Часть 1. Элементы теории вероятностей.

§ 1. Случайная величина. Задание законов ее распределения.

Одним из важнейших понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины.

Величина называется случайной, если в результате опыта она может принимать любые заранее неизвестные значения.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.

Дискретной называется такая случайная величина, которая принимает конечное или бесконечное счетное множество значений. Например, число ежемесячно продаваемых в салоне автомашин является дискретной случайной величиной.

Непрерывной называется такая случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного интервала. Очевидно, что возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Примером непрерывной случайной величины является время заправки автомашины на автозаправочной станции.

Для задания случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения. Необходимо также знать, как часто могут появляться те или иные ее значения в результате испытаний при одних и тех же условиях, т.е. нужно знать вероятности их появления.

Совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей составляет распределение случайной величины.

Законом распределения случайной величины называется всякое соответствие между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину говорят, что она подчиняется данному закону распределения.

Закон распределения случайной величины может быть задан в виде таблицы, в виде функции распределения и в виде плотности распределения. Табличное задание закона распределения может быть использовано только для дискретной случайной величины. Непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений, поэтому перечислить их в таблице невозможно. Табличная форма задания закона случайной величины называется также рядом распределения.

При графическом изображении ряда распределения в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают все возможные значения случайной величины , а по оси ординат – соответствующие вероятности. Затем строят точки и соединяют их отрезками прямых. Полученная фигура называется многоугольником распределения.

Функция распределения является наиболее общей формой задания закона распределения. Она используется для задания как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Обычно ее обозначают через . Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее фиксированного действительного числа , т.е.

.

Вероятность того, что зависит от , следовательно, является функцией от . Поэтому и называется функцией

распределения. В литературе встречаются также термины: интегральная функция распределения и интегральный закон распределения.

Геометрическая интерпретация функции распределения очень проста. Если случайную величину рассматривать как случайную точку оси , которая в результате испытания может занять то или иное положение на этой оси, то функция распределения есть вероятность того, что случайная точка в результате испытания попадет левее точки .

Для дискретной случайной величины , которая может принимать значения , функция распределения имеет вид

,

где неравенство под знаком суммы означает, что суммирование распространяется на все те значения , которые по своей величине меньше . График функции распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая ломаная линия (рис.1). Функция распределения имеет скачек в тех точках, в которых случайная величина принимает конкретное значение, указанное в ряде распределения. В интервалах между значениями случайной величины функция постоянна. Сумма всех скачков функции распределения равна единице.

Непрерывная случайная величина имеет непрерывную функцию распределения; график этой функции имеет форму плавной кривой (рис.2).

Рис.1

x

Рис.2

Свойства функции распределения.

1.

2. Вероятность попадания случайной величины в интервал

равна разности значений функции распределения на

концах этого интервала:

Следствие: Вероятность любого отдельного значения

непрерывной случайной величины равна нулю.

3. Функция распределения случайной величины есть

неубывающая функция.

4.

Непрерывную случайную величину можно задать не только интегральной функцией распределения, но и дифференциальной функцией.

Дифференциальной функцией распределения называется производная от интегральной функции. Иногда функцию называют дифференциальным законом распределения случайной величины или плотностью распределения вероятности.

Для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины дифференциальная функция неприменима.

Кривая, изображающая дифференциальную функцию распределения случайной величины, называется кривой распределения.

Свойства дифференциальной функции распределения.

1.

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины

в интервал равна определенному интегралу от

дифференциальной функции, взятому в пределах от до :

3. Интегральная функция распределения может быть

выражена через дифференциальную по формуле

4.