§14.6 Двойной интеграл в полярных координатах.
Известно,
что двойной интеграл не зависит ни от
способа разбиения области
на части, ни от выбора точки
.
Рассмотрим область
в
полярной системе координат. Пусть полюс
совпадает с началом координат, ось Ox
– с полярной осью.
Разобьём
область D
на частичные области линиями
и
,
т.е. концентрическими окружностями и
лучами, исходящими из полюса. Частичной
областью
будет
криволинейный четырёхугольник.
Обозначим
(среднее),
.
В
каждой площадке
площадью
возьмём точку
,
лежащую на дуге
.
Пусть
в декартовой системе координат
соответствует
;
,
тогда
,
т.е.
(3)
Р
ассмотрим
задачу замены переменных в двойном
интеграле по области D
в общем случае. Предполагается, что
функции
и
взаимно
однозначны, непрерывны и имеют непрерывные
частные производные на
,
т.е. установлено взаимно-однозначное
соответствие между
и
Формула замены переменных для двойного интеграла для зависимостей
и
имеет
вид:
,
где
– функциональный определитель и или Якобиан (нем. мат. Густав Якоб Якоби 1804-1851).
Пример (Лунгу № 3.2.2):
§14.7 Сведение двойного интеграла в полярных координатах к повторному.
1. Пусть полюс точки o не принадлежит области d.
Область
D
может быть заключена между двумя
радиус-векторами,
и
.
Уравнение
кривой ACB
Уравнение
кривой AFB
2. Полюс принадлежит области d.
У
равнение
Г границы контура
В
частном случае при
(
т.е.
область D
– окружность с центром в полюсе)
Замечание: В свойстве отмечалось, что если , то двойной интеграл , т.е. площади D.
В
полярной системе координат если
,то
- формула площади в полярной системе
координат.
Пример:
,
D:
Перейдём
в полярную систему координат:
;
;
-
уравнение лемнискаты
§14.8 Приложение двойного интеграла к решению геометрических и физических задач.
п.1 Вычисление площадей плоских фигур.
При или имеем: ;
Пример:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями: xy=4;
y=x;
x=4.
(кв.
ед).
п.2 Вычисление объёмов тел с помощью двойного интеграла.
С
геометрической точки зрения
,ограниченного
сверху –f(x;y),
снизу – областью D,
с боков – некоторой цилиндрической
поверхностью,
.
В цилиндрической системе координат:
.
Пример: Вычислить V тела, ограниченного поверхностями: y=x2; y=1; x+y+z=4; z=0.
.
п.3 Физический смысл двойного интеграла.
Пусть
D
– плоская пластина, лежащая в плоскости
x0y
с поверхностной плотностью
,
тогда массу этой пластины можно найти
по формуле:
Статические моменты пластины относительно осей 0x и 0y находят по формулам:
;
Координаты
центра масс пластины:
Моменты инерции пластины D относительно осей координат и начала координат:
;
