Задания для самостоятельной работы

1. Известны координаты точки М(-2;1;0) в аффинной системе координат . Каковы координаты точки М в системе координат ?

2. Дано изображение аффинной системы координат . Постройте точки Р(0;-2;0), Q(0;-3;-1), N(-1;2;-4).

3. М – центр тяжести (точка пересечения медиан) треугольника АВС. Найдите координаты точки В в системе координат , не достраивая треугольник АМС до параллелограмма.

4. Докажите, пользуясь определением координат точки, что если соответственные (одноименные) координаты двух точек равны, то эти точки совпадают.

§11. Основные аффинные и метрические задачи

Задача называется метрической, если в ней фигурируют метрические свойства фигур, т.е. свойства, которые можно выявить непосредственным измерением (длина отрезка, расстояние между точками, расстояние от точки до прямой или плоскости, величина угла, перпендикулярность, площадь, объем). В аффинных задачах метрические свойства не рассматриваются. Аффинные задачи решаются в аффинной системе координат, а, следовательно, и в прямоугольной декартовой. Метрические задачи удобно решать в прямоугольной системе координат.

Основные аффинные и метрические задачи, решаемые с помощью координат, сформулируем в виде теорем.

Основные аффинные задачи

1. Координаты вектора, заданного двумя точками.

Теорема 1. Если в аффинной системе координат и , то .

Представим вектор в виде разности векторов и :

.

Т ак как , то по определению координат точки . Аналогично . Применяя свойство координат векторов (координаты разности двух векторов равны разности их соответствующих координат), получаем, что вектор имеет координаты  .

2. Деление отрезка в данном отношении.

Говорят, что точка М делит направленный отрезок в отношении , если выполняется векторное равенство:

. (1)

Число при этом называется простым отношением трех точек М₁, М₂ и М. Простое отношение трех точек М₁, М₂ и М обозначается так: .

Почему в определении деления отрезка в данном отношении ?

Пусть М₁ М₂ и точка М делит направленный отрезок в отношении =-1. Тогда по определению деления отрезка в данном отношении

,

т.е.   . А так как начало у векторов и общее и они равны, то М₁=М₂. Получили противоречие с условием, следовательно, .

Из векторного равенства (1) следует, что если , то , т.е. точка М совпадает с точкой М₁; если >0, то точка М лежит внутри отрезка (рис. 36), т.е. ; если <0, то точка М лежит на прямой вне отрезка (рис. 37), т.е. или .

Теорема 2. Пусть в аффинной системе координат , . Тогда координаты точки , делящей направленный отрезок в отношении , находятся по формулам:

; ; . (2)

По определению деления отрезка в данном отношении .

П о теореме 1 , . Тогда . Так как два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, то ; ;

, откуда получаем: ; ; .

Формулы (2) называются формулами деления отрезка в данном отношении в координатах.

Из теоремы 2 получаем

Следствие. Если М(х;у;z) – середина отрезка М₁М₂ с концами и , то , , .

Так как М – середина М₁М₂, то  =1. Применяя формулы деления отрезка в данном отношении в координатах, получаем:

, , .