Лекция 5 Нелинейные операции над векторами

§7. Понятие об ориентации пространства и плоскости

Пусть , , - базис трехмерного векторного пространства.

Б азис , , называется правым (левым), если при взгляде на плоскость векторов и из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден как идущий против часовой стрелки (по часовой стрелке). На рис. 16 изображен правый базис, на рис. 17 – левый.

Можно дать и другие определения правого и левого базиса, например, такое: базис , , называется правым (левым), если эти векторы, отложенные от одной точки, располагаются так же, как расставлены (примерно под прямым углом) пальцы правой (левой) руки: большой палец – по первому вектору , указательный – по , средний – по .

Мы будем пользоваться в дальнейшем первым определением.

Если два базиса правые (или левые), то говорят, что они одинаково ориентированы или имеют одинаковую ориентацию. Если один базис правый, а другой – левый, то говорят, что они противоположно ориентированы или имеют противоположную ориентацию.

Множество всех правых (всех левых) базисов в пространстве V называется правой (левой) ориентацией векторного пространства V.

Таким образом, в векторном пространстве ориентацию можно задать двумя способами: правую и левую. Векторное пространство, в котором выбрана ориентация, называется ориентированным. Как только в пространстве мы зададим базис, так сразу оно становится ориентированным.

В дальнейшем, если нет специальных оговорок, когда в пространстве выбран базис, будем считать, что он является правым.

Аналогично можно ввести понятие ориентированной плоскости. При этом базис , на плоскости называется правым (левым), если кратчайший поворот от первого базисного вектора ко второму осуществляется против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Задания для самостоятельной работы

1 . Выясните, каким является базис , , : правым или левым (рис. 18)?

2. Каким является базис , , : правым или левым (рис. 19)? А базис , , ?

3. Начертите на плоскости два различных правых базиса; два различных левых базиса.

§8. Векторное произведение двух векторов

Пусть , , - ортонормированный базис трехмерного векторного пространства V (правый). Векторным произведением двух неколлинеарных векторов и называется вектор, обозначаемый (или ) и удовлетворяющий трем условиям:

1. длина ;

2. и ;

3. базис , , ориентирован так же, как базис , , .

В екторным произведением двух коллинеарных векторов называется нулевой вектор.

На рис. 20 изображены векторные произведения и .

Геометрические свойства векторного умножения векторов

Г1⁰. || .

Пусть , тогда

или || ;

или || || ;

или или || .

П усть || . Тогда по определению векторного произведения .

Г 2⁰. Длина векторного произведения векторов и равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

По определению . С другой стороны,

(рис. 20).

С ледовательно, .