Алгебраические свойства векторного умножения векторов

А1⁰. .

А2⁰. .

А3⁰. .

Замечание. Пользуясь определениями ортонормированного базиса и векторного произведения двух векторов, можно доказать, что

;	;	;
;	;	;
;	;	.

Попробуйте доказать самостоятельно!

Теорема 1 (векторное произведение в координатах). Если , в базисе , , , то

.

П о определению координат вектора в базисе , ,

, .

Тогда . Используя свойства А1⁰-А3⁰ векторного умножения и замечание, получим:

( получите это равенство, проделав все выкладки самостоятельно).

Применение векторного произведения

Векторное произведение двух векторов применяется:

1. Для выяснения коллинеарности двух векторов: || .

2 . Для вычисления площади параллелограмма: (рис. 21).

3. Для вычисления площади треугольника: .

Задания для самостоятельной работы

1. Изобразите на чертеже векторы ; (рис. 23).

2. Примените алгебраические свойства векторного умножения для упрощения выражения .

3. Пользуясь определением векторного произведения, докажите, что векторы и ортогональны.

4. Вычислите: .

5. Вычислите площадь , если , .

Лекция 6

Нелинейные операции над векторами

§9. Смешанное произведение трех векторов

Смешанным или скалярно-векторным произведением трех векторов, взятых в указанном порядке, называется скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго и третьего.

Обозначение: .

Таким образом, по определению

.

Смешанное произведение – это число!

Геометрические свойства

смешанного умножения векторов

Г1⁰. , , компланарны.

Пусть . Тогда .

По определению векторного произведения и .

С ледовательно, векторы , , параллельны плоскости, перпендикулярной вектору (рис. 24),т.е. векторы , , компланарны.

Обратно, пусть векторы , и компланарны. Тогда существует плоскость , которой они параллельны.

,  , а так как || , то  ,

т .е. .

Г2⁰ (геометрический смысл модуля смешанного произведения). Если векторы , , некомпланарны, то абсолютная величина их смешанного произведения равна объему V параллелепипеда с ребрами , , , отложенными от одной точки; , если тройка , , - правая, , если тройка , , - левая.

Пусть векторы , , отложены от точки О (рис. 25).

. Пусть .

Построим на векторах , , параллелепипед. За основание этого параллелепипеда примем параллелограмм со сторонами и (рис. 26).

Пусть n – луч, перпендикулярный основанию параллелепипеда и лежащий в том же полупространстве, что и вектор . Пусть h – высота параллелепипеда.

а) Если тройка , , ориентирована так же, как базис , , , то (рис. 26, а)  < 90⁰  cos >0    .

Итак, .

б) Если тройка , , ориентирована противоположно базису , , , то (рис. 26, б)  > 90⁰    .

Итак, .

И з пунктов а) и б) следует, что .