2. Класифікація і зведення до канонічного вигляду квазілінійних рівнянь з частинними похідними: випадок параболічного рівняння.

(Перша частина у 1-му запитанні)

Рівняння параболічного типу:

=0

У цьому випадкові рівняння (9a), (9b), а отже і їхні інтеграли (10) збігаються і є дійсними, отже має місце, лише одна дійсна сім’я характеристик, рівняння (8a), (8b), теж збігаються і мають такий вигляд:

, тут має місце лише один розв’язок покладемо у замінах (2) а за функцією візьмемо таку, що вона є двічі диференційованою і неперервною, тобто: , тоді із (7) випливає, що , а з урахуванням, того, що , із (11) випливає, що , а коефіцієнт буде таким:

. Можна показати, що він відмінний від 0, тому поділивши рівняння (6) на прийдемо до такого рівняння:

(14)

Рівняння (14) є канонічним виглядом рівняння параболічного типу.

3. Класифікація і зведення до канонічного вигляду квазілінійних рівнянь з частинними похідними: випадок еліптичного рівняння.

(Перша частина у 1-му запитанні)

Рівняння еліптичного типу:

< 0

Має місце еліптичний тип рівняння. У цьому випадкові рівняння (9a),(9b), є комплексними величинами . отже, в цьому випадку рівняння не має дійсних характеристик.

Нехай один із загальних інтегралів (10) тоді інший буде комплексно спряженим з цим. Покладемо в замінах (2):

. Підставивши у рівняння (8) його розв’язок

, ми отримаємо:

Отже, як це випливає із формули (7), отримали, що = , =0. З (11) випливає, що , тому поділивши рівняння (6) на отримаємо:

(15)

Рівняння (15) і є канонічним виглядом рівняння еліптичного вигляду.

4.Коливання струни: виведення хвильового рівняння.

Розглянемо такі коливання струни з закріпленими кінцями. Зробимо такі припущення:

1. Струна туго натягнута;

2. Струна зроблена з однорідного матеріалу;

3. Струна коливається в одній площині;

4. С труна тонка тому, дією сил ваги будемо нехтувати. Для побудови математичної моделі коливання струни розглянемо всі сили:

Виявляється, що хвильове рівняння є законом руху Ньютона (зміна імпульсу дорівнює силі діючих сил).

Уявимо собі ті сили, що діють на струну у напрямках перпендикулярних до осі ОХ:

1. Сила, обумовлена натягом струни:

Сила =Т

2. Зовнішня сила, може довільним чином залежати від часу і просторової змінної: F(t, x) – mg

3. Сили тертя. Якщо струна коливається у певному середовищі, то виникає сила опору пропорційна силі струни.

4. Повертаючи сила. Ця сила направлена проти зміщення струни, якщо u> 0, то сила від’ємна.

Прикладемо тепер рівняння руху Ньютона до невеличкої ділянки і отримаємо

–лінійна густина струни;

– деякі лінійні коефіцієнти;

Спрямуємо і перейдемо до границі, в результаті отримаємо рівняння:

(1)

де

Рівняння (1) є добре відомим у різних прикладаннях телеграфним рівнянням.

Найпростіше хвильове рівняння

(2). Оскільки рівняння (2) містить похідну за часом 2-го порядку, то для отримання єдиного розв’язку при t потрібно знати 2 початкові умови: початкове зміщення струни і початкову швидкість струни

(3)

(3)

Задачу (2) і (3) наз задачею Коші для хвильового рівняння.