- •Класифікація і зведення до канонічного вигляду квазілінійних рівнянь з частинними похідними: випадок гіперболічного рівняння.
- •Класифікація і зведення до канонічного вигляду квазілінійних рівнянь з частинними похідними: випадок параболічного рівняння.
- •Класифікація і зведення до канонічного вигляду квазілінійних рівнянь з частинними похідними: випадок еліптичного рівняння.
- •4.Коливання струни: виведення хвильового рівняння.
- •5.Формула д’аламбера (розв’язування задачі Коші для хвильового рівняння)
- •6.Розв’язувння змінної задачі для напівнескінченної струни за допомогою формули д’аламбера
- •7. Коливання обмеженої струни (стоячі хвилі)
- •8. Вимушені коливання однорідної струни
- •9. Виведення рівняння теплопровідності
- •10. Розв’язування змішаної задачі дифузійного типу методом відокремлення змінних
- •11. Перетворення неоднорідних (гу) у дифузійних задачах в однорідні
- •12. Задача коші для рівняння теплопровідності
- •13. Граничні умови в задачах дифузійного типу
- •14. Хвильове рівняння і граничні умови
- •15.Еліптичні задачі. Три основні типи граничних умов у крайових задачах
- •15. Еліптичні задачі. Три основні типи граничних умов в крайових задачах.
5.Формула д’аламбера (розв’язування задачі Коші для хвильового рівняння)
Розглянемо задачу Коші для одновимірного хвильового рівняння
(ДРЧП) , ,
(ПУ)
Розв’язування задачі розіб’ємо на кроки.
Крок 1. Заміна координат t, x новими канонічними координатами , : ,які зводять рівняння до вигляду .
Крок 2. Розв’язування перетвореного рівняння:
д овільна функція змінної , , .
Отже, загальний розв’язок рівняння записується у вигляді
.
Крок 3. Повернення до початкових координат t, x.
Для знаходження загального розв’язку рівняння (4) підставимо
в розв’язок (5). В результаті отримаємо
Це загальний розв’язок рівняння (4
Крок 4. Врахування початкових умов.
Для розв’язування задачі Коші (4) підставимо загальний розв’язок (6) хвильового рівняння (який містить дві довільні функції) в початкові умови, щоб знайти конкретні вирази для функцій і . Маємо:
Проінтегрувавши другу рівність в межах від до , отримаємо
Тоді із (7) і (8) отримуємо
а тому
отже, .Розв’язок називають формулою д’Аламбера.
6.Розв’язувння змінної задачі для напівнескінченної струни за допомогою формули д’аламбера
Поставимо перед собою задачу: знайти хвильові рухи напівнескінченної струни, лівий кінець якої жорстко закріплено при даних початкових умовах. Тут є додаткова гранична умова (ГУ), а тому задача має такий вигляд:
(ДРЧП) ,
(ГУ) ,
(ПУ) .
Підставивши загальний розв’язок в початкові умови, маємо
.
Тепер виникає проблема, якої не було під час розв’язування задачі Коші. Розв’язок повинен бути визначеним скрізь лише всередині першого квадранта площини змінних . Отже, ми повинні вміти обчислити значення функції для всіх а значення функції для всіх .
На жаль, перша з формул (11) дозволяє обчислювати лише для , оскільки в початкових умовах функції f(x) та g(x) визначені лише для додатних значень аргумента.
Якщо , то
Що робити, коли ? Для цього скористаємося граничною умовою З її допомогою доозначимо функцію для . Підставивши в граничну умову отримаємо , звідки .
Підстановка знайденого значення в загальний розв’язок дає
,
Комбінуючи розв’язки для та , нарешті отримуємо
розв'язок задачі.
7. Коливання обмеженої струни (стоячі хвилі)
Розглянемо, випадок, коли гітарну струну, яка закріплена в точках , , привести в рух, для цього розв’яжемо таку крайову задачу гіперболічного типу:
(ДРЧП) , 0< x <L, 0< t <∞;
(ГУ) 0< t <∞;(ПУ) 0≤ x ≤L.
Виявляється, у цьому випадкові біжучі хвилі відбиваються від меж так, що результуючі коливання стають не біжучими, а такими, які зберігають форму в одному положенні, тобто перетворюються в стоячі хвилі.
Знайдемо спочатку стоячі хвилі, тобто розв'язки вигляду
Підставивши і відокремивши змінні, отримуємо два звичайних диференціальних рівняння
де стала –∞< <+∞.
В залежності від значень маємо такі розв'язки рівнянь:
< 0, :
= 0,
> 0, :
Задовольняють лише розв'язки, які відповідають
Знайдемо A, B, C, D та , які задовольняють Г. У.
.
Отже, константа відокремлення (замість ми шукаємо її) повинна задовольняти рівняння , звідки випливає , n =1, 2, ... .
Отже, послідовність елементарних коливань струни має вигляд
де an , bn – довільні дійсні сталі.
Підстановка в початкові умови дає
Скориставшись співвідношеннями ортогональності
знаходимо
Отже, задача розв’язана. Її розв'язок має вигляд