14. Хвильове рівняння і граничні умови

Ми розглянули один тип руху- коливання струни, але у природі існують і інші:

- звукові хвилі (подовжні);

- електромагнітні (світлові);

- коливання твердих тіл (подовжні ,поперечні та крутильні);

- хвилі ймовірності у Квантовій механіці;

- хвилі ні воді.

Зупинимося на різних типах ГУ, які виникають під час розв’язування задач хвильового характеру. Будемо розглядати лише одновимірні задачі, та ГУ (лінійні). Як правило розрізняють ГУ 3-ох типів:

1. Задача режиму у граничних точках 0,L (ГУ І-го роду)

U(t,0)=g₁(t);

U(t,l)=g₂(t);

2. Задано сили у граничних точках (ГУ ІІ-го роду)

U_x(t,0)=g₁(t);

U_x(t,L)=g₂(t);

3. Пружне закріплення у граничних точках.

U_x(t,0) – ₁ U(t,0)=g­₁(t);

U_x(t,1) - ₂ U(t,l)=g₂(t);

Розглянемо приклад:

1. Нехай мають місце ГУ І-го роду, тоді має місце L=1. У цьому випадку виникає задача:

U_tt=c²U_xx ,0<x<1, t>0;

Далі маємо дві граничні умови:

U(t,0)= g₁(t)

t>0;

U(t,l)=g₂(t)

І дві початкові умови:

U(0,x)=f(x);

0<x<1;

U_t(0,x)=g(x)

Характерною задачею є крутильні коливання стержня, лівий кут якого закріплений, а правий повертається на деякий кут. Однією із важливих задач є задача визначення такої функції g₂(f) , щоб за мінімальний час погасити коливання струни.

2. Задано сили у граничних точках.

Вершини сил, які діють на лівий та правий кінці струни визначаються виразом:

T_Ux(t,0), T_Uxx(t,1). Якщо кінець переміщується уздовж вертикальних направляючих без тертя то ГУ набувають такого вигляду:

U_x(t,0)=0

U_x(t,l)=1

ГУ такого типу виникають наприклад у подовжніх коливаннях пружини з вільним кінцем і коливання пружини під дією сили, яку прикладено до одного кінця.

3. Пружини закріплення кінців.

Нехай h- коєфіцієнт пружності кінців.

П ружини, які прикріплені до кінців струни створюють вертикальні сили. Пропорційні зміщенню кінців.

Зусилля, що створюються пружинами на кінцях струни такі:

Лівий кінець- T_Ux(t,0)

Правий - T_Uxx(t,l)

Враховуючи h маємо такі ГУ:

U_x(t,0)=h/T U(t,0)

U_x(t,1)=- h/T U(t,1)

Або

U_x(t,0)-h/T U(t,0)=0

U_x(t,0)-h/T U(t,1)=0

Для ДРЧП будь-якого типу розрізняють в залежності від типу ГУ І, ІІ, та ІІІ-тю крайові задачі.

Якщо у правих точках мають місце ГУ різних типів, то задачі називають змішаними крайовими задачами.

15.Еліптичні задачі. Три основні типи граничних умов у крайових задачах

Оператор Лапласа є одним із найважливіших операторів математичної фізики. Лапласіан функції дозволяє оцінити значення функції в точці через значення функції в сусідніх точках і лапласіан можна вважати узагальненням другої похідної функції однієї змінної на багатомірний випадок. Розглянемо основну властивості лапласіана, завдяки якій він широко використовується (двовимірний випадок).

1. Якщо в точці (х,у), то значення u(x,y) менше за “середнє значення функції в сусідніх точках” (під середнім значенням функції в сусідніх точках розуміють середнє значення функції або по колу, або по кругу з центром в точці (х,у) );

2. Якщо в точці (х,у), то значення u(x,y) рівне “середньому значенню функції в сусідніх точках”;

3. Якщо в точці (х,у), то значення u(x,y) більше за “середнє значення функції в сусідніх точках”.

Використовуючи цей факт, дамо інтерпретацію основних рівнянь математичної фізики.

Згідно з рівнянням теплопровідності для температури (або концентрації) u, швидкість зміни температури пропорційна величині . Отже, якщо температура в точці менша за середню температуру на колі, яке описує цю точку, то температура в даній точці буде зростати.

Згідно з хвильовим рівнянням для зміщення мембрани, прискорення точки мембрани (або сила, що діє на точку) пропорційна величині . Отже, точка мембрани прискорюється догори (сила направлена догори), якщо її зміщення (за висотою) менше за зміщення сусідніх точок.

Загальні властивості крайових задач

Розглянемо стаціонарний (при ) розв’язок рівняння теплопровідності Оскільки розв’язок не змінюється з плином часу, то і рівняння теплопровідності переходить в рівняння Лапласа . Розглянемо задачу

(ДРЧП)

(ГУ) , , (ПУ) .

Щоб знайти стаціонарний розв’язок (якщо він існує) покладемо і розв’яжемо крайову задачу

Її розв’язок має вигляд