8. Вимушені коливання однорідної струни

Задача про знаходження вимушених коливань однорідної струни , яка жорстко закріплена на кінцях, під дією зовнішньої сили з густиною зводиться до розв’язування рівняння

( , де лінійна густина струни) при ГУ

та ПУ , .

Розв'язок задачі шукають у вигляді суми

,

ПУ

, ,

Розв'язок зображає вимушені коливання струни (ці коливання відбуваються під дією зовнішньої збурюючої сили за відсутності початкових збурень), а розв'язок зображає вільні коливання струни (вони обумовлені початковими збуреннями).

Функцію знаходимо у вигляді ряду

за власними функціями задачі

, .

Підставляючи .

Розкладаючи функцію в інтервалі в ряд Фур’є за синусами

і порівнюючи де

( , 2, ...).

Розв’язуючи рівняння , ( , 2,..) знаходимо

Розв'язок задачі зображається у вигляді

, де

,

.

9. Виведення рівняння теплопровідності

У теорії теплопровідності основним принципом є закон збереження енергії (теплової енергії). Усі інші твердження виводяться з цього основного принципа. Виведемо рівняння теплопровідності виходячи з рівняння збереження енергії. Розглянемо однорідний стержень довжини , відносно якого зробимо такі припущення:

1. стержень зроблено з одного однорідного матеріалу, який проводить тепло;

2. бічна поверхня стержня теплоізольована (тепло поширюється лише вздовж осі

3. стержень тонкий (це значить, що температура усіх точок у кожному поперечному перерізі стержня є сталою).

Якщо розглянути частину стержня на відрізку і скористатися законом збереження кількості тепла, то можна записати: Загальна зміна кількості тепла на відрізку Повна кількість тепла, що пройшла через межі + Повна кількість тепла, яка утворюється всередині відрізка . Внаслідок того, що загальна кількість тепла в середині відрізка у будь-який момент часу обчислюється за формулою: , де питома теплоємність матеріалу, густина матеріалу, площа поперечного перерізу стержня; закону зберігання можна надати таку математичну форму:

де теплопровідність матеріалу, об’ємна потужність зовнішнього джерела тепла. Далі позбудемося в рівності від інтегралів. Для цього скористаємося теоремою про середнє для визначеного інтеграла, згідно з якою, коли функція є неперервною на , то існує точка така, що Приклавши цю теорему до функцій та на , маємо або Далі, скориставшись теоремою Лагранжа для доданка у фігурних дужках і перейшовши до границі, прямуючи , приходимо до шуканого рівняння

де коефіцієнт температуропровідності,

густина джерел тепла.

10. Розв’язування змішаної задачі дифузійного типу методом відокремлення змінних

Розглянемо , , ,

(ГУ) , (ПУ) , Розглянемо

Крок 1. Підставляємо в ДРЧП (1) і отримуємо звідки

Змінні в ДРЧП відокремлені. Ліва частина рівності залежить лише від , а права – лише від . Тому кожна із цих частин залежить від деякої сталої : а тому Оскільки функції повинні з плином часу прямувати до нуля ( , ), то повинна бути від’ємною ( , ) і рівняння набудуть вигляду:

Їх загальні розв'язки мають вигляд (a – довільна стала)

(b, c – довільні сталі).

Тому де довільні сталі. Отже, отримали нескінченний набір функцій, які задовольняють даному ДРЧП.

Крок 2. (Знаходження розв’язків, які задовольняють ГУ)

Друга ГУ накладає обмеження на можливі значення константи відокремлення : вона повинна бути коренем рівняння тобто , 2, 3, ... . Тоді 2, 3, ... оскільки і відрізняються лише знаком.

Крок 3. (Знаходження розв’язка, який задовольняє ДРЧП, ГУ і ПУ) Будемо шукати суму фундаментальних розв’язків тобто підберемо такі коефіцієнти , щоб функція задовольняла ПУ .

Маємо рівняння Для побудови скористаємося тим, що

Домноживши на і про інтегрувавши від нуля до одиниці, отримуємо Звідси .

Можемо підвести підсумок: розв'язок задачі записується у вигляді де . ( , 2, ...).