15. Еліптичні задачі. Три основні типи граничних умов в крайових задачах.

Для рівнянь еліптичного типу граничні умови діляться на три типи:

граничні умови першого роду (задача Діріхлє):

U(r,)_. =f(θ);

граничні умови другого роду (задача Неймана):

Ur=f(θ)

- потік через межу;

граничні умови третього роду (задача Робена):

∂ U/∂ n + h(U-g) =0.

Початкові умови (ПУ) задають значення функції U(x, t₀) і Ut(x,t₀) у момент t= t₀:

U(x,0)=φ (x), Ut(x,0)=ψ(x)

При t=0 ПУ задають або початковий профіль струни, або температурний профіль стрижня, або початкові швидкості точок струни, або швидкість зміни температур. Граничні умови відсутні у випадку безмежних об'єктів.

Розглянемо приклад приведення РМФ до канонічного вигляду.

U_xx−2sinxU_xy+sin²xU_yy−ctgxU_x=0.

Коефіцієнти правої частини: а₁₁=0, а₁₂=-sinx, a₂₂=sin²x. Складемо характеристичне рівняння:

a₁₁dy²-2a₁₂dxdy+a₂₂dx²=0

або

(y')²a₁₁-2a₁₂ y'+a₂₂=0

і розв’язуємо це рівняння відносно' y':

(y')²+2sinxy'+sin2x=0

або

(y'+sinx)²=0, y'+sinx=0.

Розділимо змінні:

dy =-sin x dx, y = cos x +C.

Заміна: C=p=y- cosx. Другу змінну q вибираємо довільно: q=x. Перевіримо p і q на лінійну залежність - обчислимо визначник

(p_xq_y-p_yq_x)=0sinx-110.

Нові змінні p(x,y) і q(x,y) лінійно незалежні.

U_xx=U_ppp_x²+2U_pqp_xq_x+U_qqq_x²+U_pp_xx+U_qq_xx,

U_xy=U_ppp_xp_y+U_pq(p_xq_y+p_yq_x)+U_qqq_xq_y+U_pp_xy+U_qq_xy,

U_yy= U_ppp_y²+2U_pqp_yq_y+U_qqq_y²+U_pp_yy+U_qq_yy,

Знайдемо похідні р и q по х и y:

p_x=sinx, p_y=1, p_xx=cos x, p_xy=0, p_yy=0, q_x=1, q_y=0, q_xx=q_xy=q_yy=0.

Підставимо формули переходу у вихідне РМФ:

U_ppsin²x+2U_pqsinx+U_qq+U_pcosx−2sinx(U_ppsinx+U_pq)+

+sin²xU_pp−ctgx(U_psinx−U_q)=0

U_pp(sin²x−2sin²x+sin²x)+U_pq(2sinx−2sinx)+

+U_qq−U_qctgx+U_p(cosx−cosx)=0 

U_qq−U_qctgx=0.

Оскільки x=q, одержимо остаточно параболічне канонічне рівняння:

U_qq−U_qctg q=0.