4.9 Базовая модель смо по Кендалу

Математическая модель системы массового обслуживания включает следующие три основных элемента:

• модель потока вызовов (требований на обслуживание),

• структуру системы распределения информации,

• дисциплину обслуживания потока вызовов.

Рисунок 5.1 – Математическая модель СМО

Дисциплина обслуживания характеризует взаимодействие потока вызовов с системой распределения информации. Дисциплина обслуживания в основном описывается следующими характеристиками:

• способами обслуживания вызовов (с потерями, с ожиданием, комбинированное обслуживание);

• порядком обслуживания вызовов (в порядке очередности, в случайном порядке, обслуживание пакетами и Др.)»

• режимами поиска выходов схемы;

• законами распределения длительности обслуживания вызовов (показательный закон, постоянная или произвольная длительность обслуживания);

• наличием преимуществ (приоритетов) в обслуживании некото­рых категорий вызовов;

• наличием ограничений при обслуживании всех или некоторых категорий вызовов (по длительности ожидания, числу ожидаю­щих вызовов, длительности обслуживания);

• законами распределения вероятностей выхода из строя элементов схемы.

Для компактной записи математических моделей пользуются обозначениями, предложенными Д. Кендаллом. Математическую модель обозначают последовательностью трех символов a/b/c:

Первый символ обозначает функцию распределения промежутков между вызовами,

второй — функцию распределения длительности обслуживания,

третий  количество обслуживающих приборов в системе.

Кроме указанных трех основных обозначений содержать дополнительные. Эти дополнительные символы указываются после трех основных через двоеточие и могут обозначать особенности системы:

Для обозначения распределений введены следующие символы:

М — марковская модель (экспоненциальное распределение интервала времени, показательное);

Е — эрланговское распределение k-го порядка,

D — детерминированная величина интервала времени равномерной плотности,

U — равномерное (uniform) распределение интервала времени;

G — произвольное (general) распределение интервала времени.-

fBM — фрактальное броуновское движение как модель для числа событий в единицу времени;

fGN — фрактальный гауссовский шум.

Например:

a/b/c:Loss — система с нулевой длиной очереди (полными потерями);

а/Ь/с/:к — система с максимальным размером очереди, равным к;

G/G/1 — система с произвольным законом распределения интервала времени между входными требованиями (обычно задается функцией плотности вероятности a{t)\ с произвольным временем обслуживания требования (обычно задается функцией плотности вероятности Ь(х)) и одним системой. Размер входного накопителя предполагается неограниченным;

fBM/D/1 — система с входным потоком, описываемым самоподобным процессом типа фрактального броуновского движения и единственным сервером с постоянным временем обслуживания требований.

Например, M/M/S обозначает схему S, на которую поступает поток с показательной функцией распределения промежутков между вызовами и показательной функцией распределения длительности обслуживания (простейший поток вызовов). Если схема представляет собой полнодоступный пучок линий, то вместо S пишется v, где v — число линий.

Запись M/M/z<∞ обозначает полнодоступный пучок z конечным числом линий, который обслуживает с потерями простейший поток вызовов.

Запись Mk/Gk/υ/r < ∞/ƒ°₀ обозначает полнодоступный пучок из v линий, который обслуживает с ожиданием k потоков с показательными функциями распределения промежутков между вызовами; каждый поток имеет произвольную функцию распределения длительности обслуживания; число мест для ожидания r<∞; постановка вызовов в очередь осуществляется без приоритетов  f°, выборка из очереди — также без приоритетов  fо. Если вызовы обслуживаются с ожиданием, то число мест для ожидания обозначают символом r. Символ f с индексами вводится для обозначений приоритетов в обслуживании.