5.2 Аппроксимация Хейворда

На полнодоступную систему из V портов поступает пуассоновский поток требований с интенсивностью λ, причем каждое требование требует для обслуживания одновременно m портов, m>1. Порты занимаются на случайное время обслуживания, со средним . В случае окончания обслуживания все порты группы одновременно освобождаются. Если в момент поступления требования в системе отсутствует необходимое количество свободных портов, то требование теряется.

При определении вероятности потерь требований для анализируемой системы, которую назовем системой U, непосредственное использование первой формулы Эрланга невозможное в силу неординарности потока занятия портов. Вместо этого исследуем модифицированную систему U¹, что составляется из v = V/m комплектов, каждый из которых имеет m портов. Теперь каждому входящему требованию для обслуживания потребуется один такой комплект и поэтому поток занятий комплектов будет ординарным. Нагрузка в системе U¹ определяется количеством занятых комплектов (а не портов), то есть совпадает с нагрузкой по требованиям и есть пуассоновским с интенсивностью . Поэтому для расчетов вероятности потерь требований в системе U¹ возможно применение первой формулы Эрланга:

Со взгляда статистических характеристик процесса обслуживания требований, системы U и U¹ полностью эквиваленнтны и , в частности, очевидно, что . Отсюда с учетом соотношений 7.99 и 7.100 выплывает:

7.101

Таким образом, когда мультисервисная нагрузка создается несколькими категориями источников с разной кратностью требований m_i, суперпозицию входящих потоков можно заменить одним потоком, который имеет такие же значения математического ожидания Λ_п и дисперсии D_п нагрузки на порты. Хотя в действительности непуассоновские потоки имеют довольно сложные статистические свойства, и для полного описания таких потоков необходимо использование большого количества характеристик, на практике допускают, что вероятности потерь требований зависят слабо от моментов нагрузки более высокого порядка и ими можно пренебречь.

Таким образом, если известна вероятность потерьтребований в некоторой системе c V портами при мультисервисной нагрузке с интенсивностью Λ_п и коэффициентом скученности S_п, тов любой системес такими же параметрами V, Λ_п, и S_п потери требований будут приблизительно равны .

Определивши коэффициент скученности объединенного потока требований по формуле 7.100, можно потом с помощью соотношения 7.101 определить вероятность потерь любого требования, что дает приближенную оценку средних (или общих) потерь. Для разных категорий источников нагрузки требования теряются при разных состояниях системы и, как следствие, вероятностные характеристики качества обслуживания требований будут отличаться. Дл ярасчетов индивидуальных потерь, то есть вероятности потерь требования i-й категории, при i= 1,…n, можно использовать приближенное соотношение:

Таким образом, при обслуживании мультисервисной нагрузки, имеющий непуассоновкий характер, расчеты потерь требований в выходной системе заменяется аналогичной задачей для эквивалентной системы, где такая задача может быть решена с использованием первой формулы Эрланга. Сравнительный анализ такого подхода и имитационное моделирование свидетельствуют, что предложенные приближенные формулы имеют точность, вполне достаточную для решения инженерных задач. Формула 7.101 называется формулой или аппроксимацией Хейворда и ее обоснование исследовано в некоторых научных работах.