Модуль 3.
ЗАНЯТИЯ 9, 10. Подпространства векторного пространства.
Доказать, что множество является подпространством векторного пространства . Найти его размерность и базис.
Найти размерность r и базис B линейной оболочки векторов:
. Ответ: r=3, и .
. Ответ: r=3, и .
.Ответ: r=2, и .
Задать линейную оболочку векторов однородной системой линейных уравнений. Ответ:
Найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений:
Ответ: .
Ответ: система имеет только нулевое решение.
Ответ:
Найти базисы и размерности для суммы и пересечения подпространств и пространства , если и . Ответ: .
ЗАНЯТИЕ 11. Линейные многообразия.
Найти базис направляющего пространства и вектор сдвига для многообразия M решений системы линейных уравнений: Ответ: в записи M=a+L имеем a=(0,1,1,0) и , где .
Выяснить, пересекаются ли в пространстве многообразия и , где и . Ответ: не пересекаются.
ЗАНЯТИЯ 12, 13. Процесс ортогонализации.
Ортогонализировать систему векторов пространства : . Ответ: .
Проверить, что векторы ортогональны и нормированы. Дополнить систему до ортогонального базиса пространства . Ответ: .
Построить ортонормированный базис линейной оболочки векторов . Ответ: .
Найти ортонормированный базис пространства решений однородной системы линейных уравнений: Ответ: .
ЗАНЯТИЕ 14. Ортогональное дополнение.
В пространстве задано подпространство L однородной системой линейных уравнений: Найти ортогональные базисы в пространствах .
В пространстве найти базис ортогонального дополнения , если само подпространство L является линейной оболочкой векторов . Ответ: например, .
Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора x=(3,–5,2,–10) относительно линейной оболочки векторов . Ответ: y=(3,–6,–3,–3), z=(0,1,5,–7).
Модуль 4.
ЗАНЯТИЕ 15, 16. Ядро и образ линейного оператора.
Можно ли с помощью следующих равенств задать линейные операторы пространства ? Для линейных операторов найти их матрицы в базисе (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).
. Ответ: можно, .
. Ответ: нельзя.
. Ответ: нельзя.
. Ответ: можно, .
Можно ли с помощью следующих равенств задать линейные операторы пространства ? Для линейных операторов найти их матрицы в базисе .
. Ответ: можно,
. Ответ: можно,
. Ответ: можно, .
Найти базис ядра и образа линейного оператора φ пространства V, заданного в некотором базисе матрицей:
Ответ: .
Ответ: базис Im φ: ; базис ker φ: .
Найти ранг, дефект, а также базисы ядра и образа линейного оператора φ пространства , заданного условием: . Ответ: rang φ=3, df φ=0.
Доказать, что существует линейный оператор пространства , переводящий векторы соответственно в векторы . Найти его матрицу в базисе . Ответ: .
ЗАНЯТИЕ 17. Матрица линейного оператора.
Линейный оператор пространства V задан в базисе матрицей . Найти образ вектора . Ответ: .
Линейный оператор φ пространства переводит векторы соответственно в векторы . Найти его матрицу в базисе . Ответ: .
Линейный оператор φ пространства V задан в базисе матрицей . Найти его матрицу в базисе , если . Ответ: .
Линейный оператор φ в базисе имеет матрицу , а линейный оператор ψ в базисе матрицу . Найти матрицу линейного оператора φψ в базисе . Ответ: .
ЗАНЯТИЕ 18. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Найти собственные векторы и собственные значения линейных операторов пространства , заданных в некотором базисе матрицами:
. Ответ: , e=(1,0,1).
. Ответ: , , , .
. Ответ: , , , , , .
. Ответ: , , , , .
Подобна ли матрица диагональной:
Ответ: нет.
Ответ: подобна матрице .
Департамент образования города Москвы
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования города Москвы
«МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и информатики
Математический факультет
Наименование дисциплины / курса |
Уровень образования |
Статус дисциплины в рабочем учебном плане |
Количество зачетных единиц |
Форма отчетности |
Курс, семестр |
Алгебра 2 |
Бакалавриат |
Б3 вариативная часть |
3 |
зачет |
1 курс бакалавриата, 2 семестр |
Модуль 1. |
||||
Тема или задание текущей аттестационной работы |
Виды текущей аттестации |
Аудиторная или внеаудиторная |
Минимальное количество баллов |
Максимальное количество баллов |
Посещение лекционных и семинарских занятий, дисциплинированность, культура поведения |
Посещаемость (на каждом занятии 1 балл) |
Аудиторная |
- |
2 |
Ведение записей лекций – академическая компетенция |
Проверка и анализ конспектов (выборочно, произвольно) |
Аудиторная |
- |
3 |
Активная работа на практических занятиях, выполнение домашних заданий – академическая и коммуникативная компетенция |
Выступления, проверка домашних заданий |
Аудиторная и внеаудиторная |
- |
5 |
Выполнение контрольной работы– академическая компетенция |
Письменная работа, собеседование. |
Внеаудиторная |
- |
8 |
Коллоквиум по материалу модуля |
Коллоквиум |
Аудиторная |
- |
4 |
Итого |
|
|
- |
22 |
Модуль 2. |
||||
Тема или задание текущей аттестационной работы |
Виды текущей аттестации |
Аудиторная или внеаудиторная |
Минимальное количество баллов |
Максимальное количество баллов |
Посещение лекционных и семинарских занятий, дисциплинированность, культура поведения |
Посещаемость (на каждом занятии 1 балл) |
Аудиторная |
- |
2 |
Ведение записей лекций – академическая компетенция |
Проверка и анализ конспектов (выборочно, произвольно) |
Аудиторная |
- |
3 |
Активная работа на практических занятиях, выполнение домашних заданий – академическая и коммуникативная компетенция |
Выступления, проверка домашних заданий |
Аудиторная и внеаудиторная |
- |
5 |
Выполнение контрольной работы– академическая компетенция |
Письменная работа, собеседование. |
Внеаудиторная |
- |
8 |
Коллоквиум по материалу модуля |
Коллоквиум |
Аудиторная |
- |
4 |
Итого |
|
|
- |
22 |
Модуль 3. |
||||
Тема или задание текущей аттестационной работы |
Виды текущей аттестации |
Аудиторная или внеаудиторная |
Минимальное количество баллов |
Максимальное количество баллов |
Посещение лекционных и семинарских занятий, дисциплинированность, культура поведения |
Посещаемость (на каждом занятии 1 балл) |
Аудиторная |
- |
3 |
Ведение записей лекций – академическая компетенция |
Проверка и анализ конспектов (выборочно, произвольно) |
Аудиторная |
- |
4 |
Активная работа на практических занятиях, выполнение домашних заданий – академическая и коммуникативная компетенция |
Выступления, проверка домашних заданий |
Аудиторная и внеаудиторная |
- |
6 |
Выполнение контрольной работы– академическая компетенция |
Письменная работа, собеседование. |
Внеаудиторная |
- |
10 |
Коллоквиум по материалу модуля |
Коллоквиум |
Аудиторная |
- |
5 |
Итого |
|
|
- |
28 |
Модуль 4. |
||||
Тема или задание текущей аттестационной работы |
Виды текущей аттестации |
Аудиторная или внеаудиторная |
Минимальное количество баллов |
Максимальное количество баллов |
Посещение лекционных и семинарских занятий, дисциплинированность, культура поведения |
Посещаемость (на каждом занятии 1 балл) |
Аудиторная |
- |
3 |
Ведение записей лекций – академическая компетенция |
Проверка и анализ конспектов (выборочно, произвольно) |
Аудиторная |
- |
4 |
Активная работа на практических занятиях, выполнение домашних заданий – академическая и коммуникативная компетенция |
Выступления, проверка домашних заданий |
Аудиторная и внеаудиторная |
- |
6 |
Выполнение контрольной работы– академическая компетенция |
Письменная работа, собеседование. |
Внеаудиторная |
- |
10 |
Коллоквиум по материалу модуля |
Коллоквиум |
Аудиторная |
- |
5 |
Итого |
|
|
- |
28 |
Итого максимум |
100 |
Необходимый минимум для допуска к промежуточной аттестации 41 балл.
Дополнительные требования для студентов, отсутствующих на занятиях по уважительной причине: устное или письменное собеседование по тематике пропущенных занятий, выполнение заданий практических занятий, выполнение контрольных и письменных работ.
Форма промежуточной аттестации: зачет – максимальное количество баллов 20 дополнительно к набранным.
Таблица соответствия с пятибалльной системой оценки знаний
Баллы |
0 ‑ 40 |
41 ‑ 60 |
61 ‑ 80 |
81 ‑ 100 |
Оценка |
Неудовлетворительно |
Удовлетворительно |
Хорошо |
Отлично |