6.6. Спектральная факторизация

Рассмотрим z-преобразование АР(p)-процесса, которое, согласно (6.7), определяется выражением

(6.38)

где A(z)A^*(1/z^*) - полином по z порядка 2p . Полюсы в (6.38) будут комплексно-сопряженными взаимно обратными парами. Например, если z_k - корень полинома A(z), то (1/z_k)^*=1/z_k^* будет корнем полинома A^*(1/z^*) . Если z_k лежит внутри единичной окружности, то 1/z_k^* будет расположен вне её. Кроме того, корни полинома A(z) также будут комплексно-сопряженными парами, если все коэффициенты этого полинома действительны.

Рассмотрим знаменатель в (6.38) - функцию A(z)A^*(1/z^*) . Типичная диаграмма расположения полюсов произведения полиномов A(z)A^*(1/z^*) показана на рис.6.5,а. Существует 2^р возможных комбинаций в случае p полюсов для полинома A(z), которые будут давать идентичный полином A(z)A^*(1/z^*) . На рис.6.5,б и рис.6.5,в показаны две вожможные спектральные факторизации полюсов полинома A(z)A^*(1/z^*), представленных на рис.6.5,а. Однозначная факторизация требует, чтобы модель временного ряда была и устойчивой, и казуальной, что предполагалось при записи уравнения (6.1). Согласно теории линейных систем (см.гл.2), полином A(z) должен быть расположены внутри единичной окружности в z-плоскости, как показано на рис.6.5,в. Поэтому все корни полинома A^*(1/z^*) будут расположены вне её. Полином A^*(1/z^*) ассоциируется с устойчивым антиказуальным авторегрессионным процессом

(6.39)

определенным при n£0, а не с казуальным АР-процессом, определенным при n³0.

Заметим, что не следует путать устойчивость фильтра, связанную со спектральной факторизацией, и статистическую устойчивость. Устойчивость фильтра касается выбора АР- или СС-параметров, которые формируют автокорреляционные рекурсивные выражения, такие как (6.29) и (6.31). Статистическая устойчивость касается методов, которые позволяют уменьшить дисперсию спектральных оценок, получаемых по заданным конечным записям данных. В гл.8 будут описаны методы оценивания на основе линейного предсказания, которые обладают хорошей статистической устойчивостью, но не обязательно гарантируют получение минимально-фазовых оценок полинома A(z). С точки зрения оценки СПМ вовсе необязательно, чтобы полином A(z) являлся минимально-фазовым полиномом, поскольку оценка СПМ может быть получена по любому полиному A(z) с произвольным расположением корней, как показано на рис. 6.5. Вопрос устойчивости вознакает в том случае, когда для реализации фильтра требуются оценки коэффициентов полинома A(z). В этом случае случае минимально-фазовый фильтр может быть создан посредством инверсного переноса переноса всех полюсов полинома A(z), расположенных вне единичной окружности, внутрь ее. Иными словами, нужно просто сформировать A(z)A^*(1/z^*) и выполнить минамально-фазовую факторизацию.