Тема 4 Показатели вариации в дискретных и интервальных вариационных рядах.
1. Имеются данные о числе домашней птицы в деревнях «Кукуево» и «Гадюкино»:
Число птицы |
до 6 |
6 –12 |
12–18 |
18 –24 |
24-30 |
30 и более |
|
Число дворов |
Кукуево |
1 |
5 |
10 |
20 |
15 |
4 |
Гадюкино |
2 |
8 |
15 |
6 |
3 |
1 |
|
Найти по каждой из деревень: среднюю численность птиц в одном дворе, моду и медиану; изобразить моду и медиану графически; дисперсию, коэффициент вариации и коэффициент асимметрии; сформулировать вывод о степени однородности совокупности и форме распределения. Какая из совокупностей является более однородной? Найти среднее число птиц в одном дворе по двум деревням вместе.
Решение.
Деревня Кукуево
Таблица 1. Расчет вспомогательных значений для определения характеристик ряда распределения
Число птицы |
Середина интервала, Xi |
Число дворов, fi |
Xifi |
Кумулята, S |
|
|
|
До 6 |
3 |
1 |
3 |
1 |
-18 |
324 |
324 |
6-12 |
9 |
5 |
45 |
6 |
-12 |
144 |
720 |
12-18 |
15 |
10 |
150 |
16 |
-6 |
36 |
360 |
18-24 |
21 |
20 |
420 |
36 |
0 |
0 |
0 |
24-30 |
27 |
15 |
405 |
51 |
6 |
36 |
540 |
30 и более |
33 |
4 |
132 |
55 |
12 |
144 |
576 |
Итого |
|
55 |
1155 |
|
|
|
2520 |
Средняя численность птиц в одном дворе
Мода
Большая часть дворов имеют в среднем 22 птицы
Медиана
Половина дворов имеют менее 21 птицы, другая половина – более 21 птицы
Рис. 1 Гистограмма распределения дворов по числу птиц
Рис. 2 Кумулята распределения дворов по числу птиц
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Коэффициент вариации
,
следовательно, совокупность считается
неоднородной
Коэффициент асимметрии
,
следовательно, распределение правостороннее
Деревня Гадюкино
Таблица 2. Расчет вспомогательных значений для определения характеристик ряда распределения
Число птицы |
Середина интервала, Xi |
Число дворов, fi |
Xifi |
Кумулята, S |
|
|
|
До 6 |
3 |
2 |
6 |
2 |
-13 |
169 |
338 |
6-12 |
9 |
8 |
72 |
10 |
-7 |
49 |
392 |
12-18 |
15 |
15 |
225 |
25 |
-1 |
1 |
15 |
18-24 |
21 |
6 |
126 |
31 |
5 |
25 |
150 |
24-30 |
27 |
3 |
81 |
34 |
11 |
121 |
363 |
30 и более |
33 |
1 |
33 |
35 |
17 |
289 |
289 |
Итого |
|
35 |
543 |
|
|
|
1547 |
Средняя численность птиц в одном дворе
Мода
Большая часть дворов имеют в среднем 15 птиц
Медиана
Половина дворов имеют менее 16 птиц, другая половина – более 16 птиц
Рис. 3 Гистограмма распределения дворов по числу птиц
Рис. 4 Кумулята распределения дворов по числу птиц
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Коэффициент вариации
,
следовательно, совокупность считается
неоднородной
Коэффициент асимметрии
,
следовательно, распределение левостороннее
Совокупность по деревне Кукуево более однородная, т. к. коэффициент вариации меньший
Таблица 3. Расчет вспомогательных значений для определения общей средней
Число птицы |
Середина интервала, Xi |
Число дворов, fi |
Xifi |
До 6 |
3 |
3 |
9 |
6-12 |
9 |
13 |
117 |
12-18 |
15 |
25 |
375 |
18-24 |
21 |
26 |
546 |
24-30 |
27 |
18 |
486 |
30 и более |
33 |
5 |
165 |
Итого |
|
90 |
1698 |
2. Дано распределение двух групп туристов, отдыхавших в санатории, по длительности пребывания в санатории:
-
Длительность пребывания (дней)
8
10
12
14
16
18
Число туристов
1 группа
2
3
6
14
4
1
2 группа
3
9
6
4
3
2
Найти по каждой из групп: среднее значение; численное значение моды и медианы; дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации и коэффициент асимметрии; сформулировать вывод о степени однородности совокупности и форме распределения. Какая из совокупностей является более однородной?
Решение.
1 группа
Таблица 1. Расчет вспомогательных значений для определения характеристик ряда распределения
Длительность пребывания (дней) |
Число туристов, fi |
Xifi |
Кумулята, S |
|
|
|
8 |
2 |
16 |
2 |
-5,2 |
27,04 |
54,08 |
10 |
3 |
30 |
5 |
-3,2 |
10,24 |
30,72 |
12 |
6 |
72 |
11 |
-1,2 |
1,44 |
8,64 |
14 |
14 |
196 |
25 |
0,8 |
0,64 |
8,96 |
16 |
4 |
64 |
29 |
2,8 |
7,84 |
31,36 |
18 |
1 |
18 |
30 |
4,8 |
23,04 |
23,04 |
Итого |
30 |
396 |
|
|
|
156,8 |
Среднее значение
Мода – значение признака с наибольшей частотой
Мо=14 (дней)
Большая часть туристов отдыхает в санатории в среднем 14 дней
Медиана - значение признака, у которого накопленная частота впервые превышает полусумму всех частот ряда
Ме=14 (дней)
Половина туристов отдыхают в санатории менее 14 дней, другая половина – более 14 дней
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Коэффициент вариации
,
следовательно, совокупность считается
однородной
Коэффициент асимметрии
,
следовательно, распределение правостороннее
2 группа
Таблица 2. Расчет вспомогательных значений для определения характеристик ряда распределения
Длительность пребывания (дней) |
Число туристов, fi |
Xifi |
Кумулята, S |
|
|
|
8 |
3 |
24 |
3 |
-4 |
16 |
48 |
10 |
9 |
90 |
12 |
-2 |
4 |
36 |
12 |
6 |
72 |
18 |
0 |
0 |
0 |
14 |
4 |
56 |
22 |
2 |
4 |
16 |
16 |
3 |
48 |
25 |
4 |
16 |
48 |
18 |
2 |
36 |
27 |
6 |
36 |
72 |
Итого |
27 |
326 |
|
|
|
220 |
Среднее значение
Мода – значение признака с наибольшей частотой
Мо=10 (дней)
Большая часть туристов отдыхает в санатории в среднем 10 дней
Медиана - значение признака, у которого накопленная частота впервые превышает полусумму всех частот ряда
Ме=12 (дней)
Половина туристов отдыхают в санатории менее 12 дней, другая половина – более 12 дней
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Коэффициент вариации
,
следовательно, совокупность считается
однородной
Коэффициент асимметрии
,
следовательно, распределение левостороннее
Совокупность по группе 1 более однородная, т. к. коэффициент вариации меньший
3. Распределение багажа, сданного на хранение, характеризуется по весу следующими данными:
Вес (кг) |
до 12 |
12–16 |
16–20 |
20–24 |
24 и более |
Число единиц хранения |
10 |
15 |
20 |
12 |
8 |
Найти: средний вес багажа, моду и медиану; изобразить моду и медиану графически; найти дисперсию, коэффициент вариации и коэффициент асимметрии; сформулировать вывод о степени однородности совокупности и форме распределения.
Решение.
Таблица 1. Расчет вспомогательных значений для определения характеристик ряда распределения
Вес (кг) |
Середина интервала, Xi |
Число единиц хранения, fi |
Xifi |
Кумулята, S |
|
|
|
До 12 |
10 |
10 |
100 |
10 |
-7,6 |
57,76 |
577,6 |
12-16 |
14 |
15 |
210 |
25 |
-3,6 |
12,96 |
194,4 |
16-20 |
18 |
20 |
360 |
45 |
0,4 |
0,16 |
3,2 |
20-24 |
22 |
12 |
264 |
57 |
4,4 |
19,36 |
232,32 |
24 и более |
26 |
8 |
208 |
65 |
8,4 |
70,56 |
564,48 |
Итого |
|
65 |
1142 |
|
|
|
1572 |
Средний вес багажа
Мода
Большая часть единиц хранения имеют в среднем вес 17,5 кг
Медиана
Половина единиц хранения имеют вес менее 17,5 кг, другая половина – более 17,5 кг
Рис. 1 Гистограмма распределения единиц хранения по весу
Рис. 2 Кумулята распределения единиц хранения по весу
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Коэффициент вариации
,
следовательно, совокупность считается
однородной
Коэффициент асимметрии
,
следовательно,
распределение левостороннее
4. Известно, что среднее значение одного из двух признаков равно 200, а его дисперсия – 2500, среднее значение второго признака равно 2,0, и его дисперсия – 2,25. Установить, по какому из этих признаков совокупность является более однородной.
Решение.
Первый признак
Коэффициент вариации
,
следовательно, совокупность считается
однородной
Второй признак
Коэффициент вариации
,
следовательно, совокупность считается
неоднородной
По первому признаку совокупность более однородная, т. к. коэффициент вариации меньше
5. Известно, что среднее значение одного из двух признаков равно 400, а его дисперсия – 3600, среднее значение второго признака равно 3,8, и его дисперсия – 3,61. Установить, по какому из этих признаков совокупность является более однородной
Решение.
Первый признак
Коэффициент вариации
,
следовательно, совокупность считается
однородной
Второй признак
Коэффициент вариации
,
следовательно, совокупность считается
неоднородной
По первому признаку совокупность более однородная, т. к. коэффициент вариации меньше
6. Средняя величина признака равна 400, а коэффициент вариации равен 15%. Найти дисперсию признака.
Решение.
7. Дисперсия признака равна 160000, коэффициент вариации равен 25%. Найти среднюю величину признака.
Решение.
8. Дано распределение студентов ИТиГа по количеству часов в неделю, затрачиваемых на самостоятельную подготовку к занятиям.
Бюджет времени (час.) |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
Число студентов |
18 |
24 |
42 |
12 |
4 |
Найти: средний уровень ряда; моду; дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации и коэффициент асимметрии; построить полигон ряда распределения; сформулировать вывод о степени однородности совокупности и форме распределения.
Решение.
Таблица 1. Расчет вспомогательных значений для определения характеристик ряда распределения
Бюджет времени (час.) |
Число студентов, fi |
Xifi |
|
|
|
20 |
18 |
360 |
-8 |
64 |
1152 |
25 |
24 |
600 |
-3 |
9 |
216 |
30 |
42 |
1260 |
2 |
4 |
168 |
35 |
12 |
420 |
7 |
49 |
588 |
40 |
4 |
160 |
12 |
144 |
576 |
Итого |
100 |
2800 |
|
|
2700 |
Средний уровень ряда
Мода – значение признака с наибольшей частотой
Мо=30 (час.)
Большая часть студентов имеют бюджет времени в среднем 30 часов
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Коэффициент вариации
,
следовательно, совокупность считается
однородной
Коэффициент асимметрии
,
следовательно,
распределение левостороннее
Рис. 1 Полигон распределения студентов по бюджету времени