9.6.2 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

.

Для применения критерия Гурвица трансформируем корни, лежащие внутри круга единичного радиуса плоскости в левую полуплоскость комплексной переменной .

Убедится, что такое преобразование действительно трансформирует корни единичного радиуса в левую полуплоскость, для этого представим , тогда .

Составим табличное соответствие и плоскости в

	- система устойчива
	- система неустойчива
	- система нейтральна

Сделав замену , получим характеристический полином для новой комплексной переменной

.

Для такого полинома применим критерий устойчивости. Составим матрицу Гурвица

Для устойчивости системы по Гурвицу необходимо и достаточно, чтобы при положительном коэффициенте все определители матрицы Гурвица были положительны.

Пример №1. Исследовать устойчивость системы, характеристический полином которой имеет вид .

Сделав замену переменных , получим

,

согласно с критерием Гурвица

.

Отсюда видно, что положительность коэффициентов и недостаточно для обеспечения устойчивости.

Пример №2. Исследовать устойчивость системы, характеристический полином которой имеет вид .

Сделав замену переменных , получим следующее условие устойчивости

.

9.6.3 Методика исследования устойчивости системы прерывистого регулирования по корням характеристического полинома

1. Определить передаточную функцию разомкнутой системы .

2. Определить передаточную функцию замкнутой системы

.

3. Зная характеристический полином замкнутой системы, найдём характеристический полином разомкнутой системы

.

Зная полином разомкнутой системы, найдём корни .

4. Убедится, что для устойчивости системы все корни . Если хотя бы один корень меньше 1, то система неустойчива.

9.6.4 Методика определения устойчивости систем прерывистого регулирования по критерию Гурвица

1. Определить передаточную функцию разомкнутой системы .

2. Определить передаточную функцию замкнутой системы

.

3. Путём замены переменных , получим характеристический полином для новой комплексной переменной

.

4. Составим матрицу Гурвица и вычислим её определителей .

5. Убедится, что для устойчивости при положительности коэффициентов все определители матрицы Гурвица . Если хоты бы один равен нулю, то система будет нейтральная.

9.7 Анализ устойчивости систем прерывистого регулирования частотной плоскости

Введём понятие комплексного коэффициента передачи прерывистой системы ,

где - нормированная круговая частота, изменяющаяся от 0 до .

Особенностью систем прерывистого регулирования является периодичность АЧХ.

АЧХ непрерывной системы

АЧХ после дискретизации

Периодичность АЧХ можно объяснить двояко:

1. формальное (математическое объяснение)

так как , в силу периодичности и АЧХ будет так же периодичное;

2. физическое объяснение, так как отсчёты берутся с частотой , то выходной сигнал кратный будет иметь одно и то же значение