Лекція 5

Короткий зміст|вміст,утримання|: Внутрішні і зовнішні сили. Центр мас. Моменти інерції відносно|відносно| точки|точки| і осей. Теорема Штейнера.

Вступ|вступ| в динаміку системи

Механічною системою називається будь-яка система матеріальних точок|точок| і тіл.

Зовнішніми силами механічної системи називаються сили, з|із| якими на точки|точки| і тіла механічної системи діють точки|точки| і тіла, що не входять в дану систему.

Рівнодіюча|рівнодійна| всіх зовнішніх сил, прикладених до точки,|точки| позначається|значить| (від латинського exterior| - зовнішній).

Внутрішніми силами механічної системи називаються сили взаємодії між точками|точками| і тілами даної системи.

Рівнодіюча|рівнодійна| всіх внутрішніх сил, прикладених до точки,|точки| позначається|значить| (від латинського interior| - внутрішній).

Це розділення|поділ| є|з'являється,являється| умовним і залежить від того, яка механічна система розглядається|розглядує|.

Внутрішні сили системи володіють |слідуючими| властивостями:

Теорема. Головний вектор всіх внутрішніх сил системи (векторна сума) дорівнює нулю при будь-якому стані|достатку| системи. .

Доказ: Згідно однієї з аксіом динаміки, будь-які дві точки системи діють один на одного з|із| рівними по величині, але|та| протилежно направленими|спрямованими| силами. Векторна сума цих сил дорівнює нулю. Всі внутрішні сили є|з'являються,являються| великою кількістю таких парних сил. Тому сума всіх внутрішніх сил дорівнює нулю.

Теорема. Головний момент всіх внутрішніх сил системи (векторна сума) відносно|відносно| будь-якої точки|точки| або осі дорівнює нулю при будь-якому стані|достатку| системи. або .

Доказ: Будь-які дві точки системи діють один на одного з|із| рівними по величині, але|та| протилежно направленими|спрямованими| силами. Сума моментів цих сил відносно|відносно| будь-якої точки|точки| або осі дорівнює нулю. Всі внутрішні сили є|з'являються,являються| великою кількістю таких парних сил. Тому сума моментів всіх внутрішніх сил відносно|відносно| будь-якої точки|точки| або осі дорівнює нулю.

Диференціальні рівняння системи у векторній формі:

,

Геометрія мас

Розглянемо|розглядуватимемо| механічну систему, яка складається з кінцевого|скінченного| числа матеріальних точок|точок| з|із| масами , а положення|становище| точок|точок| в просторі задається радіус-векторами .

Ц ентром мас механічної системи називається геометрична точка|точка| С|із|, радіус-вектор якої визначається виразом|вираженням|

де - маса системи.

Якщо механічна система є суцільним тілом, то його розбивають на елементарні частинки|частки,часточки| з|із| нескінченно малими масами . Рисунок 5-1

Суми в межі переходять в інтеграли і центр мас визначається виразом:|вираженням|

Центр мас є|з'являється,являється| не матеріальною точкою|точкою|, а геометричною. Центр мас характеризує розподіл мас в системі.

Координати центру мас мають вигляд|вид|:

Для тіл типу|типа| тонкого листа|аркуша| (поверхня) і тонкого дроту (лінія) і , де - поверхнева|поверхова,зверхня| і лінійна щільність відповідно. Інтеграли обчислюються|обчисляють,вичисляють| по поверхні і лінії.

Моменти інерції

Для характеристики розподілу мас в тілах при розгляді обертальних рухів потрібно ввести|запроваджувати| поняття моментів інерції.

Момент інерції відносно|відносно| точки|точки|

Скалярна величина

або

називається полярним моментом інерції відносно|відносно| точки О,

d – відстань від поточної точки|точки| до точки О.

Момент інерції відносно|відносно| осі

Скалярна величина або

називається моментом інерції відносно|відносно| осі l, r – відстань від точки|точки| до осі.

Моменти інерції однакових за формою однорідних тіл, виготовлених з|із| різних матеріалів, відрізняються один від одного. Характеристикою, не залежною від маси матеріалу, є|з'являється,являється| радіус інерції.

Величина називається радіусом інерції.

Момент інерції відносно|відносно| осі через радіус інерції відносно|відносно| цієї ж осі визначається виразом|вираженням| .

Моменти інерції відносно|відносно| осей координат

Відцентрові моменти інерції

Встановимо залежність між моментами інерції відносно|відносно| паралельних осей, одна з яких проходить через центр мас.

Теорема про моменти інерції відносно|відносно| паралельних осей (Теорема Штейнера)

М омент інерції системи відносно|відносно| будь-якої осі дорівнює моменту інерції відносно|відносно| паралельної осі, що проходить через центр мас, плюс добуток|добуток| маси системи на квадрат відстані між цими осями

Доказ: Хай|нехай| є|наявний| дві декартові системи координат і , осі яких паралельні. Початок системи знаходиться|перебуває| в центрі мас системи. Доведемо теорему для осей і .

Рисунок 5-2

;

Координати зв'язані між собою співвідношеннями:

, ,

, , .

Отже , що і потрібно було довести.

Головними осями інерції називаються осі, в яких відцентрові моменти інерції дорівнюють нулю.

Моменти інерції тіла відносно|відносно| головних осей інерції називаються головними моментами інерції тіла.

Тензор інерції і тензор інерції для головних осей: