9

Министерство общего и профессионального образования

Российской федерации

Санкт-Петербургский государственный университет технологии и дизайна

А.Л. Сазонов

Теория вероятностей и математическая статистика

КРАТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВСЕХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

Тетрадь № 5 Системы случайных величин

Санкт-Петербург

2000

Глава 5. Системы случайных величин

До сих пор мы рассматривали отдельные случайные величины. Однако в реальной жизни мы сталкиваемся с объектами, которые характеризуются одновременно несколькими случайными величинами. Например, изделие характеризуется тремя параметрами - длина, ширина и высота. Работа предприятия характеризуется несколькими случайными величинами - прибыль, производительность труда, степень механизации предприятия, численность фактически работающих рабочих и т.д.

Совместное изучение k случайных величин - это изучение системы случайных величин (Х₁,Х₂, ... ,Х_k). В результате одного опыта каждая величина принимает одно из своих допустимых значений, т.е. результат опыта - это k значений. Например, возможны два варианта проведения исследований линейная плотность и прочность пряжи. Если сначала на динамометре проводится несколько испытаний прочности, а потом (пусть и с того же початка) столько же испытаний по определению линейной плотности, т.е. взвешивания отрезков пряжи определенной длины, то это исследование двух случайных величин, но не исследование системы. Если же каждый отмеренный отрезок и взвешивается и разрывается на динамометре - это уже исследование систем двух случайных величин.

§ 1. Система двух дискретных случайных величин

Рассмотрим систему двух дискретных случайных величин (X,Y). Закон распределения системы двух случайных величин задается таблицей (см. табл.5)

Таблица 5

X			Y
		...		...
		...		...
...	...	...	...	...	...
		...		...
...	...	...	...	...	...
		...		...

В таблице использовано обозначение - вероятность того, что и одновременно, т.е. вероятность произведения двух этих событий. Основным свойством закона распределения системы двух величин является выполнение равенства

(6.1.1)

Зная закон распределения системы можно найти закон распределения каждой из величин отдельно, т.е. найти вероятности того, что отдельная величина примет данное значение

, (6.1.2)

(6.1.3)

Очевидны формулы:

(6.1.4)

(6.1.5)

(6.1.6)

(6.1.7)

Закон распределения системы двух (не обязательно дискретных) случайных величин может быть задан функцией распределения системы, которая определена на всей координатной плоскости XoY равенством

(6.1.8)

Свойства функции распределения системы аналогичны свойствам функции распределения одной случайной величины.

1. 

2. Если , то а если , то т.е. является неубывающей функцией по каждому аргументу,

3. 

Зная функцию распределения системы, можно найти функции распределения каждой из величин отдельно.

(6.1.9)

(6.1.10)