10

Министерство общего и профессионального образования

Российской федерации

Санкт-Петербургский государственный университет технологии и дизайна

А.Л. Сазонов

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

КРАТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВСЕХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

ТЕТРАДЬ № 1

Случайные события

Санкт-Петербург

2000

ЛИТЕРАТУРА

Вентцель Е.С. Теория вероятностей.

-М.: Academa, 2003.

Вентцель Е.С. и др. Теория вероятностей (задачи и упражнения).

-М.: Наука, 1973.

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.

-М.: Высшая школа, 2003.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей

и математической статистике.

-М.: Высшая школа, 2003.

Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика.

-М.:ЮНИТИ, 2001.

Румшинский Л.З. Элементы теории вероятностей.

-М.: Наука, 1970.

Сазонов А.Л. и др. Задания для самостоятельной работы по высшей

математике, раздел “теория вероятностей и

математическая статистика”.

-Л-д, ЛИТЛП, 1983

Сазонов А.Л. Системы случайных величин.

-СПб.: СПГУТД, 1998

Сазонов А.Л. Теория вероятностей и математическая

статистика (краткий курс лекций).

Пособие для студентов всех специальностей.

Тетрадь № 1. Случайные события

-СПб.: СПГУТД, 1999

Сазонов А.Л. Теория вероятностей и математическая

статистика (краткий курс лекций).

Пособие для студентов всех специальностей.

Тетрадь № 2. Дискретные случайные величины.

-СПб.: СПГУТД, 1999

Сазонов А.Л. Теория вероятностей и математическая

статистика (краткий курс лекций).

Пособие для студентов всех специальностей.

Тетрадь № 3. Непрерывные случайные величины.

-СПб.: СПГУТД, 1999

Сазонов А.Л. Теория вероятностей и математическая

статистика (краткий курс лекций).

Пособие для студентов всех специальностей.

Тетрадь № 4. Системы случайных величин.

-СПб.: СПГУТД, 1999

Сазонов А.Л. Теория вероятностей и математическая

статистика (краткий курс лекций).

Пособие для студентов всех специальностей.

Тетрадь № 5. Элементы математической статистики

-СПб.: СПГУТД, 1999

Рожков Н.Н. и др. Математика. Методические указания и контрольные

задания по теории вероятности и математической

статистике для студентов-заочников.

-СПб.: СПГУТД, 1998

Глава 1. Случайные события

1.1. Определение вероятности

Основным понятием теории вероятностей является «событие». Это понятие не определяется так же как и число, точка, прямая и плоскость в математике. Событие (или явление) это все, что происходит или не происходит, может или не может произойти в данных условиях. Так исторически сложилось, что наилучшими примерами событий являются игровые примеры (т.е. примеры с игральными костями и картами, монетами, урнами с шарами). Появление 6-ти очков на игральной кости, вытаскивание туза из колоды, падение монеты гербом вверх или вытаскивание шара данного цвета из урны - это примеры событий. При этом следует помнить, что объекты в этих примерах считаются идеальными. Игральная кость - это абсолютно правильный однородный куб, на гранях которого точками отмечены очки от 1 до 6. Монета - это диск, вырезанный из геометрической плоскости (отсутствует толщина), одна сторона которого называется «герб», а другая «цифра». Шары в урне постоянно находятся в хаотическом движении, причем все они абсолютно правильные, однородные и одинаковые. Конечно, этими примерами не исчерпываются все события. Можно говорить и о реальных событиях, таких как рождение ребенка определенного пола, появление технического брака, нарушение технологического процесса, останов станка из-за поломки и т.п.

События обозначаются, как правило, заглавными буквами начала латинского алфавита A, B, C₁, С₂ и т. д.

Условия, при которых может или не может произойти интересующее нас событие принято называть опытом или испытанием или случайным экспериментом.

Теперь следует ввести ряд определений.

Определение 1. Событие называется с л у ч а й н ы м , если при данных условиях (в данном опыте) оно может произойти, а может и не произойти.

Примеры случайных событий приведены в начале этого параграфа.

Определение 2. Событие называется невозможным, если при данных условиях (в данном опыте) оно не может произойти.

Например, появление 12 очков при одном бросании игральной кости - невозможное событие. Или, например, событие А - камень, брошенный вверх с поверхности земли рукой человека, стал спутником земли. Это практически невозможное событие.

Определение 3. Событие называется достоверным, если при данных условиях оно обязательно произойдет.

Например, событие В - на игральной кости при одном бросании выпадет не более шести очков. Это достоверное событие.

Теперь рассмотрим несколько определений, характеризующих взаимосвязь нескольких событий, которые участвуют в одной и той же задаче.

Определение 4. Два события А и В называются несовместимыми или несовместными, если при данных условиях они не могут произойти одновременно.

Например, А - это появление четного числа очков, В - появление числа очков кратного трем, С - появление 5 очков при одном бросании игральной кости. Очевидно, А и С несовместимые события, В и С тоже. А и В события совместимые. Если рассматривать более двух событий, то следует разделить несовместимость попарно и несовместимость в совокупности. Например, в урне имеются шары, каждый из которых покрашен в два цвета: часть окрашена в белый и красный, часть в белый и синий, остальные в красный и синий. Из урны берут наудачу один шар. А - на этом шаре есть красный цвет, В - на нем есть синий цвет, С - на нем есть белый цвет. Очевидно события А и В, события А и С, а также В и С попарно совместимы, но все вместе события А, В и С в совокупности несовместимы, так как нет шаров, покрашенных в три цвета.

Определение 5. События А₁, А₂, ..., А_n составляют полную группу, если в результате опыта хотя бы одно из них обязательно произойдет.

Если события А₁, А₂, ..., А_n, составляющие полную группу, попарно несовместимы, то говорят что они являются единственно возможными.

Например, при одном бросании игральной кости А - четное число очков, В - число очков кратное трем, С - одно очко, D - пять очков. Очевидно, А, В, С, и D составляют полную группу, однако не являются единственно возможными, так как, если выпадет 6 очков, то произойдет и А, и В.

В урне 3 белых, 5 красных и 2 синих шара. Из урны вынимают наудачу один шар. А - этот шар белый, В - он красный и С - он синий. События А, В и С составляют полную группу единственно возможных событий.

Определение 6. События А₁, А₂, ..., А_n называются равновозможными, если в силу равенства, симметрии или однородности, никакие из них нельзя выбрать, как происходящие чаще других при многократном повторении опыта.

В последнем примере с урной события А, В и С не являются равновозможными, так как количества белых, красных и синих шаров в урне не одинаковы. События же А₁ - появление при одном бросании игральной кости одного очка, А₂ - двух очков, А₃ -трех очков, А₄ - четырех очков, А₅ - пяти очков и А₆ - шести очков являются равновозможными в силу однородности и симметричности игральной кости.

Определение 7. События Е₁, Е₂, ... , Е_n, образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, называются исходами (случаями, шансами, элементарными исходами или элементарными событиями). Иными словами все исходы - это множество всех равновозможных и единственно возможных событий.

Так, например, появление при одном бросании игральной кости одного, двух, трех, четырех, пяти или шести очков - исходы. Появление герба или цифры при бросании монеты - исходы. Иногда, в зависимости от условий задачи, один и тот же объект может рассматриваться с разным числом исходов. Например, при вытаскивании одной карты из колоды в 36 карт можно рассматривать два исхода: карта красной или черной масти, четыре исхода: пика, трефа, черва или бубна, 9 исходов: шестерка, семерка, ... , король, туз, и, наконец, 36 исходов, считая каждую карту отдельным исходом. Выбор той или иной системы исходов зависит от условий задачи.

Определение 8. Исходы, которые влекут за собой появление события А, называются благоприятными событию А.

Например, если событие А - при одном бросании игральной кости выпало число очков кратное трем, то из шести возможных исходов событию А благоприятны два: три и шесть очков, а событию В - появилось четное число очков - благоприятны три исхода из тех же шести.

Каждому исходу Е_i благоприятен один сам этот исход.

Определение 9. («Классическое определение вероятности»). Вероятностью случайного события называется число, равное отношению числа исходов, благоприятных этому событию, к общему числу исходов в данном опыте. Невозможному событию присваивается вероятность равная нулю, а достоверному -вероятность равная единице.

Вероятность события А обычно обозначается Р(А). Очевидно, (1.1.1)

Если обозначить число всех исходов n, а число исходов благоприятных событию А - m, то

(1.1.2)

Таким образом, можно сказать, что предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Рассмотрим несколько примеров непосредственного подсчета вероятностей.

Пример 1. Найти вероятность события А - появления числа очков кратного трем, при одном бросании игральной кости.

Как уже указывалось выше, общее число исходов n = 6, а из них m = 2 благоприятны А (три и шесть очков). Поэтому

Пример 2. В урне 2 белых, 3 красных и 5 синих шаров. Наудачу вынимают один. Какова вероятность того, что он белый, красный , синий?

Введем обозначения А - взятый шар белый, В - красный , С - синий. Очевидно, что здесь каждый шар - это отдельный исход (первый белый, второй белый, первый красный, второй красный, третий красный, первый синий, второй синий и т.д. - это отдельный исходы). Поэтому n = 10. Из них m_А = 2 благоприятных событию А, m_B = 3 благоприятных В и m_C = 5 , благоприятных для события С. Поэтому

Вероятность любого исхода (1.1.3)

Поэтому, вероятность появления шести очков при бросании игральной кости , вероятность появления герба при одном бросании монеты , вероятность взять из колоды в 36 карт даму пик -

Рассмотрим несколько более сложных примеров.

Пример 3. Найти вероятность того, что при одновременном бросании двух монет герб выпадет а) только на одной из низ, б) на обеих.

А - герб выпал только на одной из двух монет,

В - герб выпал на обеих монетах.

Всего в задаче n = 4 исходов ( герб на первой и цифра на второй, герб на первой и герб на второй, цифра на первой и герб на второй, цифра на первой и цифра на второй). Число благоприятных исходов m_А = 2 (герб и цифра, цифра и герб), m_В = 1 (В - это один из исходов).

Поэтому Р(А) = 0,5 и Р(В) = 0,25.

Отметим, что решение не изменится, если в условии вместо бросания двух монет будет идти речь о двух бросаниях одной монеты.

Пример 4. Какова вероятность того, что при бросании двух игральных костей выпадет сумма очков, равная 11?

Так как каждая грань первой кости может выпасть в пре с каждой гранью второй, то всего возможных исходов n = 66 = 36. Благоприятных исходов m = 2 (пять очков на первой кости и шесть на второй, шесть на первой и пять на второй). Поэтому искомая вероятность Р = = . (Здесь можно было не вводить обозначения события, так как оно всего одно, поэтому и вероятность обозначена буквой Р без указания «имени» события).

Пример 5. Из коробки, в которой 10 изделий, среди которых 4 покрашенных, наудачу отобрали 3. Какова вероятность того, что а) все отобранные изделия покрашенные, б) два покрашенных, а одно нет?

Всего возможно исходов. Пусть А все изделия крашенные, В - два крашенных, а одно нет. Тогда из n исходов благоприятными для А будут только те, в которых все три изделия берутся из четырех покрашенных, т.е. и Р(А) = = .

Чтобы найти m_В нужно найти исходы выбора двух покрашенных шаров, которых , и исходы выбора одного некрашеного из 6-ти, которых m₂ = 6. Так как каждый исход из m₁ может произойти с каждым из m₂, то Поэтому

Определение 10. Событие называется противоположным событию А, если оно состоит в том, что событие А не произошло.

Например, А - четное число очков на игральной кости, - нечетное число очков. В - при бросании монеты выпал герб, - выпала цифра. Из колоды вынута карта. С - эта карта дама, - эта карта не дама. Вообще = не А. Очевидно, что если из n исходов m благоприятны событию А, то n - m исходов не благоприятны А, т.е. благоприятны , поэтому

отсюда следует, что (1.1.4)

Замечание. Покажем, что классическое определение вероятности события имеет ряд недостатков. Во-первых, в самом определении имеется завуалированное использование понятие «вероятность» для определения понятия «вероятность». Действительно, равновозможность событий это завуалированная их равновероятность. Во-вторых, как ответить на вопрос: какова вероятность того, что точка квадрата со стороной a является точкой круга радиуса r, целиком лежащего в этом квадрате? Классическое определение не дает возможности ответить на этот вопрос, так как число исходов (число точек квадрата) бесконечно. Однако, легко сообразить, что вероятность этого события можно найти, и она равна отношению их площадей

.

Действительно, площадь квадрата можно принять за меру множества всех возможных исходов положения точки, а площадь круга - за меру благоприятных исходов.

Однако, если поставить вопрос о вероятности того, что две точки квадрата принадлежат кругу, то найти аналог всем возможным исходам уже будет затруднительно. Решать такие задачи помогают теоремы сложения и умножения вероятностей, которые мы рассмотрим в следующем параграфе.

Определение 11. Если мера множества всех исходов данного события несчетна, то вероятностью такого случайного события (геометрической вероятностью) будем называть отношение меры всех благоприятных исходов к мере всех исходов.

Если опыт уже проведен некоторое количество раз, то нам определенно известно, сколько раз при этом наступило интересующее нас случайное событие.

Определение 12.Частотой (относительной частотой или статистической вероятностью) случайного события А в проведенной серии испытаний называется отношение числа опытов, в которых произошло событие А к общему числу произведенных опытов (испытаний).

Частота вычисляется после проведения всех испытаний по формуле

, (1.1.5)

где m^* - число наступлений события А,

n^* - количество проведенных испытаний.

При большом количестве испытаний частота мало отличается от средней величины.

Итак, для оценки степени возможности благоприятного исхода для исследуемого случайного события введены три числовые характеристики:

математическая вероятность,

геометрическая вероятность,

статистическая вероятность.