7Статистическое изучение вариации признаков и способы ее измерения.

Понятие вариации. Вариацию можно определить как количественное различие значений одного и того же признака у отдельных единиц совокупности. Термин «вариация» имеет латинское происхождение - variatio, что означает различие, изменение, колеблемость. Изучение вариации в статистической практике позволяет установить зависимость между изменением, которое происходит в исследуемом признаке, и теми факторами, которые вызывают данное изменение. Для измерения вариации признака используют как абсолютные, так и относительные показатели.

Вариацией признака называется различие численных значений признака у отдельных единиц совокупности.  Размеры вариации позволяют судить, насколько однородна изучаемая группа и, следовательно, насколько характерна средняя по группе. Изучение отклонений от средних имеет большое практическое и теоретическое значение, так как в отклонениях проявляется развитие явления.

Статистические данные представлены в рядах распределения. В зависимости от признака, положенного в основу группировки данных, различают атрибутивные и вариационные ряды. Числовые значения признака, встречающееся в данной совокупности называется вариантами значений. Статистические данные без какой-либо систематизации образуют первичный ряд.

К абсолютным показателям вариации относят: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсию.

К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение и др.

Размах вариации R. Это самый доступный по простоте расчета абсолютный показатель, который определяется как разность между самым большим и самым малым значениями признака у единиц данной совокупности:

                                                                                                                                 (1)

Размах вариации (размах колебаний) - важный показатель колеблемости признака, но он дает возможность увидеть только крайние отклонения, что ограничивает область его применения. Для более точной характеристики вариации признака на основе учета его колеблемости используются другие показатели.

Среднее линейное отклонение d, которое вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности. Эта величина определяется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений от средней. Так как сумма отклонений значений признака от средней величины равна нулю, то все отклонения берутся по модулю.

Формула среднего линейного отклонения (простая):                                                                                                                                                                                                                                                     (2)

Формула среднего линейного отклонения (взвешенная):

                                                                                                                                  (3)При использовании показателя среднего линейного отклонения возникают определенные неудобства, связанные с тем, что приходится иметь дело не только с положительными, но и с отрицательными величинами, что побудило искать другие способы оценки вариации, чтобы иметь дело только с положительными величинами. Таким способом стало возведение всех отклонений во вторую степень. Обобщающие показатели, найденные с использованием вторых степеней отклонений, получили очень широкое распространение. К таким показателям относятся среднее квадратическое отклонение  ϭ и среднее квадратическое отклонение в квадрате ϭ², которое называют дисперсией.

Средняя квадратическая простая:

                                                                                                                           (4)

Средняя квадратическая взвешенная:

                                                                                                                 (5)

Дисперсия есть не что иное, как средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от его средней величины.

Формулы дисперсии взвешенной  и простой   :

                                                                                                 (6)

Расчет дисперсии можно упростить. Для этого используется способ отсчета от условного нуля (способ моментов), если имеют место равные интервалы в вариационном ряду.

Кроме показателей вариации, выраженных в абсолютных величинах, в статистическом исследовании используются показатели вариации (V), выраженные в относительных величинах, особенно для целей сравнения колеблемости различных признаков одной и той же совокупности или для сравнения колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях.

Данные показатели рассчитываются как отношение размаха вариации к средней величине признака (коэффициент осцилляции), отношение среднего линейного отклонения к средней величине признака (линейный коэффициент вариации), отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака (коэффициент вариации) и, как правило, выражаются в процентах.

Формулы расчета относительных показателей вариации:

(7)

где V_R - коэффициент осцилляции;

Vα- линейный коэффициент вариации;

Vσ- коэффициент вариации.

 

Из приведенных формул видно, что чем больше коэффициент V приближен к нулю, тем меньше вариация значений признака.

В статистической практике наиболее часто применяется коэффициент вариации. Он используется не только для сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному).

Абсолютные показатели вариации

Чтобы дать представление о величине варьирующего признака недостаточно исчислить средний показатель. Кроме средней необходим показатель, характеризующий вариацию признака.

Вариация – это изменение значения признака у отдельных единиц совокупности.

Вариация обусловлена действием различных факторов на развитие отдельных единиц совокупности. Чем более разнообразно условие, тем больше его вариация.

Наиболее простой характеристикой вариации признака является размах вариации (R). Размах вариации – это разность между наибольшим и наименьшим значением признака в изучаемой совокупности:

R=x_max – x_min,

где   x_max – наибольшее значение признака;

x_min – наименьшее значение признака.

Размах вариации не отражает отклонений всех значений признака – это его недостаток. Он исчисляется при контроле качества продукции для определения систематически действующих причин на производственный процесс.

Для измерения отклонения каждой варианты от средней величины в ряду распределения или в группировке применяется среднее линейное отклонение (d).

Среднее линейное отклонение определяется по формулам:

а) для несгруппированных данных (ранжировочного ряда)   (простое);

б) для вариационного интервального ряда:   (взве­шенное).

Среднее линейное отклонение показывает, на сколько в среднем каждое значение признака отклоняется от средней величины. Эта величина всегда именованная и измеряется в тех же величинах, в которых даны статистические показатели.

Среднее линейное отклонение дает обобщенную характеристику степени колеблемости признаков совокупности.

Средние линейные отклонения применяются на практике для анализа состава рабочих, ритмичности производства, равномерности поставок материалов и т.д.

Наибольшее применение в практике статистических работ находит показатель – дисперсия признака или средний квадрат отклонений, или квадрат среднего квадратического отклонения ( ). Дисперсия –   – определяется по формулам:

а) для ранжировочного ряда (несгруппировочных данных):  (простая);

б) для интервального ряда:   (взвешенная).

Корень квадратный из дисперсии   представляет среднее квадратическое отклонение ( ):  ; или

а) для ранжировочного ряда:   (простое);

б) для вариационного ряда:   (взвешенное).

Среднее квадратическое отклонение дает обобщенную характеристику признака совокупности и показывает во сколько раз в среднем колеблется величина признака совокупности. В зарубежной литературе оно называется стандартным отклонением и применяется в различных стандартах.

Среднее квадратическое отклонение по величине всегда больше среднего линейного отклонения. Среднее квадратическое отклонение является мерой надежности средней величины: чем оно меньше, тем точнее средняя арифметическая.

Дисперсия является оценкой одноименного показателя теории вероятности. Сопоставление линейных или среднеквадратических отклонений по признакам совокупности дает возможность определить статистическую однородность совокупности: чем меньше размер, тем совокупность более однородна.

4.2. Относительные показатели вариации

Для сравнения вариации в разных совокупностях рассчитываются относительные показатели вариации. К ним относятся коэффициент вариации, коэффициент осцилляции и линейный коэффициент вариации (относительное линейное отклонение).

Коэффициент вариации – это отношение среднеквадратического отклонения к среднеарифметическому, рассчитывается в процентах:

.

Коэффициент вариации позволяет судить об однородности совокупности:

–  < 17% – абсолютно однородная;

–  17–33%% – достаточно однородная;

–  35–40%% – недостаточно однородная;

–  40–60%% – это говорит о большой колеблемости совокупности.

Коэффициент осцилляции – это отношение размаха вариации к средней, в процентах. Отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.  .

Линейный коэффициент вариации характеризует долю усредненного значения абсолютного отклонения от средней величины.  .