Глава 2. Формы комплексных чисел

Алгебраическая форма

Определение: Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, будем называть комплексными.

Число a будем назвать действительной частью комплексного числа, bi – мнимой частью комплексного числа, b – коэффициентом при мнимой части. Возможны случаи, когда действительные числа a и b могут быть равными нулю. Если a = 0, то комплексное число bi называется чисто мнимым. Если b = 0, то комплексное число a + bi равно a и называется действительным. Если a = 0 и b = 0 одновременно, то комплексное число 0 + 0i равно нулю. Итак, мы получили, что действительные числа и чисто мнимые числа представляют собой частные случаи комплексного числа.

Запись комплексного числа в виде a + bi называется алгебраической формой комплексного числа. Два комплексных числа a + bi и c + di условились считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т. е. a + bi = c + di, если a = c и b = d.

Основные действия над комплексными числами:

• О п р е д е л е н и е. Суммой комплексных чисел a + bi и a' + b'i называют комплексное число (a + a') + (b + b')i.

Пример: (-3 + 5i) + (4 – 8i) = 1 - 3i

• О п р е д е л е н и е. Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a' + b'i (вычитаемое) называется комплексное число (a – a') + (b – b')i.

Пример: (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i

• О п р е д е л е н и е. Произведением комплексных чисел a + bi и a' + b'i называется комплексное число (aa' – bb') + (ab' + ba')i.

Пример 1. (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i 2 = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 – 4i.

Пример 2. (a + bi)(a – bi) = a2 + b 2. Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число.

• О п р е д л е н и е. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a' + b'i – значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

Найти частное (7 – 4i):(3 + 2i).

Записав дробь (7 – 4i)/(3 + 2i). Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение (3-2i). Получаем,

((7 – 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 – 2i)) = (13 – 26i)/13 = 1 – 2i

Определение: Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

Например,

Геометрическая форма

Пусть комплексное число z = a + bi изображено в виде вектора с началом в точке O(0; 0) и концом Z(a; b) (рис. 3).

Определение: Модулем комплексного числа z = a + bi называется длина вектора, которую можно найти по формуле.

Определение: Аргументом комплексного числа называется угол j, который образует вектор с положительным направлением оси абсцисс. Величину угла j можно найти с помощью формул:

Эта система имеет бесчисленное множество решений вида β + 2 pk, где k – любое целое число. Таким образом, любое комплексное число z имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное 2p. Если k = 0, то мы получим главное значение аргумента j, которое и будем называть аргументом комплексного числа. Из соотношений и следует a = r cos β, b = r sinβ.

Если в запись комплексного числа z вместо a и b подставить эти значения, то получим z = a + bi = r cos β + i rsin β= r (cos β + i sin β).

Таким образом, мы получили новую форму записи комплексного числа:

z = r (cos β+ i sin β), которая называется тригонометрической формой комплексного числа.

Обозначив модуль комплексного числа буквой r.

Показательная форма

Если комплексному числу z = (cos β + i sin β), модуль которого равен 1, поставить в соответствие показательное выражение eⁱj, то получим соотношение

Cos β + i sin β = eⁱβ, которое называется формулой Эйлера.

Любое комплексное число z можно записать в виде z = reⁱβ.

Эта форма записи комплексного числа называется показательной формой.

Пример: записать число в показательной форме.

Решение. Здесь

Следовательно, показательная форма числа имеет вид