Национальный исследовательский университет - Высшая Школа Экономики Экономический факультет Отделение статистики, анализа данных и демографии Кафедра статистики.

Реферат по теории статистического наблюдения на тему: «Вклад Якоба Бернулли в статистику».

Студент: Малявко Екатерина Гр. 22С

Москва - 2011

Введение.

Якоб Бернулли стал фигурой исключительного значения для теории вероятностей и математической статистики. Но не только он один проявил талант в технических науках. Вся династия швейцарских ученых Бернулли, по крайней мере, восемь её представителей оставили заметный след в истории точных наук.

В истории известны случаи, когда способности гениальных личностей не передаются по наследству их потомкам, но встречаются и счастливые исключения, когда дар переходит от поколения к поколению. Именно такой уникальный феномен представляет собой династия Бернулли. Представители этого рода 250 лет возглавляли кафедры математики и физики Базельского университета.

Купеческая протестантская семья великих математиков бежала из Нидерландов, когда в 1550г. император Карл издал указ против еретиков. В поисках религиозной терпимости они эмигрировали в Швейцарию. Здесь они быстро стали уважаемым семейством.

Первые из этой династии - братья Якоб и Иоганн I - разделяют славу создания современной математики с гениями - Ньютоном и Лейбницем. Лейбниц писал, что анализ бесконечно малых столь же много обязан братьям Бернулли, как и ему самому. Признанием их заслуг являются и научные термины: схема Бернулли, теорема Бернулли, числа Бернулли, закон больших чисел Бернулли и т.п. Более 30 представителей рода обладали талантами, среди них выдающиеся историки, архитекторы, юристы и другие. Но наиболее выдающимися в этой славной семье были Якоб, Иоганн I (в роду Бернулли некоторые имена повторяются из поколения в поколение, поэтому математиков различают как королей) и Даниил. Их достижения стоят на недосягаемой высоте.

Поэтому личность Якоба Бернулли показалась наиболее интересной для анализа.

Биография.

Я коб родился 27 декабря 1654 года в швейцарском городе Базель. Его отец Николай Бернулли был преуспевающим фармацевтом. Отец хотел, чтобы сын был священником, поэтому Яков, поступив в Базельский университет, в основном изучал теологию и языки. Кроме государственных языков Швейцарии – французского, немецкого, итальянского – и «научного» латинского, Якоб владел еще английским и греческим. Но больше всего его привлекала математика, которую он изучал втайне от отца. Окончив Базельский университет магистром философии и богословия в 1671 году, он начал читать проповеди на немецком и французском языках. Увлечение математикой заставило его покинуть этот так благополучно начатый жизненный путь. В 1676г. Якоб начинает читать лекции по экспериментальной физике в Базельском университете, а через 3 года становится профессором математики. В 1677 году совершил поездку во Францию для изучения идей Декарта, затем в Нидерланды и Англию, где познакомился с Гуком и Бойлем.

По возвращению из одного из путешествий, он опубликовал свою первую научную работу, посвящённую теории комет. Бернулли утверждал, что кометы – небесные тела с определенными траекториями движения. Статья вызвала критику богословов, так как было заведомо известно, что кометы – знаки божьего гнева, Якобу пришлось согласовать свои научные взгляды с богословской догмой.

В 1684 году женился на Юдит Штупанус, у них родились сын и дочь.

В 1682 году Бернулли получил предложение занять должность проповедника в Страсбурге, но отклонил его, решив в дальнейшем заниматься только физико-математическими науками. В 1683 он начал читать лекции в Базельском университете по экспериментальной физике. В октябре 1686 г. оказывается вакантной должность профессора математики. Успехи Якоба в математике хорошо известны, и Сенат университета единодушно выдвинул на вакантную должность Якоба Бернулли. Вступление в должность состоялось 15 февраля 1687 г.

В 1699 году оба брата Бернулли избраны иностранными членами Парижской Академии наук. Якоб Бернулли умер 16 августа 1705 года в Базеле в возрасте 50 лет. Его вклад в развитие математики трудно переоценить. Благодарные потомки назвали в его честь кратер на Луне.

Вклад в статистику.

Якоб Бернулли был одним из первых исследователей в теории вероятностей, и по этому предмету он написал «Искусство предположения» (Ars conjectandi) – книгу, опубликованную посмертно племянником Николаем Бернулли, в 1713 г. Сочинение состояло из 4 частей, в её первой части перепечатан трактат Гюйгенса «О расчётах в азартной игре». В книге Гюйгенса ещё не было определения и понятия вероятности, она заменялась понятием «количество благоприятных случаев». Вторая часть была посвящена комбинаторике и практическим вариантам её применения. Здесь достаточно полно были изложены известные к тому времени факты о комбинаторике, например формулы:

• для числа перестановок из n элементов ( ).

• для числа сочетаний (называемого Якобом Бернулли классовым числом) без повторений ( ) и с повторениями ( ).

• для числа размещений с повторениями ( ) и без повторений ( ).

Для вывода формул автор использовал наиболее простые и наглядные методы, сопровождая их многочисленными таблицами и примерами. Сочинение Бернулли превзошло работы его предшественников и современников систематичностью, простотой методов, строгостью изложения и в течение XVIII века пользовалось известностью не только как серьёзного научного трактата, но и как учебно-справочного издания.

Якобу Бернулли также принадлежит значительная часть современных понятий в теории вероятностей. Среди них можно найти:

Теорема Бернулли

Якоб доказал теорему Бернулли о биномиальных распределениях — важный частный случай закона больших чисел. Впервые она была опубликована в труде “Искусство предположений”. Первоначальные её доказательства требовали сложных математических средств, лишь в середине XIX века Пафнутий Львович Чебышев нашёл необычайно изящное и краткое её доказательство. Точная формулировка теоремы Бернулли такова: если при каждом из п независимых испытаний вероятность некоторого события равна р, то вероятность того, что частота т/п появления события удовлетворяет неравенству |т/п—р|<ε (ε—произвольно малое положительное число), становится сколь угодно близкой к единице при достаточно большом числе п испытаний. Из доказательства Чебышева вытекает простая количественная оценка этой вероятности:

Р {|m/n—р|<ε}>1—р(1—р)/пε². Теорема Бернулли была обобщена Симеоном Пуассоном, в сочинении которого "Исследование о вероятности суждения" (1837) впервые появился термин "закон больших чисел".

Схема Бернулли

В книге «Искусство предположения» Якоб Бернулли кроме всего прочего представил модель – «схему Бернулли». Под схемой Бернулли понимают конечную серию независимых испытаний, в каждом из которых возможно лишь 2 исхода – «успех» и «неудача», при этом успех в одном испытании происходит с вероятностью , а неудача – с вероятностью .

Распределение Бернулли

Имя Якоба носит важное в комбинаторике распределение Бернулли. Распределение Бернулли моделирует случайный эксперимент произвольной природы, когда заранее известна вероятность успеха или неудачи. Случайная величина X имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: 1 и 0 с вероятностями р и q соответственно. Таким образом:

,

Принято говорить, что событие {X = 1} соответствует «успеху», а {X = 0} «неудаче». Эти названия условные, и в зависимости от конкретной задачи могут быть заменены на противоположные.

Функция вероятности Функция распределения

Функция распределения случайной величины такова:

Вариационное исчисление Бернулли

Совместно с братом Иоганном Бернулли положил начало вариационному исчислению, разделу математики, посвящённому нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций. Он поставил задачу о брахистохроне, ставшей одной из первых задач вариационного исчисления. Она звучит так: определить форму кривой, лежащей в вертикальной плоскости, по которой тяжёлая материальная точка, двигаясь под действием только одной силы тяжести и не имеющая начальной скорости, перейдёт из верхнего положения А в нижнее положение В за минимум времени. Эта задача сводится к отысканию функции у (х), доставляющей минимум функционалу

Блуждание Бернулли

Э то случайное блуждание, порождаемое испытаниями по схеме Бернулли. Блуждания Бернулли можно описать в следующих терминах. Частица движется по оси х ("блуждает") по решетке точек вида . Движение начинается в момент , и положение частицы отмечается только в дискретные моменты времени На каждом шаге координата частицы увеличивается или уменьшается на величину h с вероятностями р или соответственно, независимо от предшествующего движения. Таким образом, перемещения в положительном и отрицательном направлениях ("успехи" и "неудачи") описываются схемой испытаний Бернулли с вероятностью успеха, равной р. Обычно блуждание Бернулли изображают геометрически, беря ось t за ось абсцисс, а ось х – за ось ординат (на рисунке показан начальный участок графика движения частицы, начинающей блуждание из нуля). Пусть – случайная величина, равная перемещению частицы на j-ом шаге. Тогда образуют последовательность независимых случайных величин. Координата блуждающей частицы в момент равна сумме График даёт наглядное представление о поведении нарастающих сумм случайных величин. Этот график можно также интерпретировать как изменения капитала одного из игроков в классической задаче о разорении (именно в связи с этой задачей были найдены формулы для вероятностей многих событий в блуждании Бернулли).