§ 12. Использование порометрических кривых для определения абсолютной и относительной проницаемости горных пород

Для определения относительных и абсолютных проницаемостей фильтрационным методом (см § 9 гл. I) требуются сложные лабора­торные установки и образцы большого размера. Удобный, быстрый и достаточно точный для практических расчетов метод определения проницаемости пород по небольшим их кусочкам и даже по шламу основан на использовании порометрических кривых или кривых «капиллярное давление — насыщенность пор жидкой фазой» (рис. 17).

Последние строят по данным опыта, проводимого при помощи ртут­ных поромеров или методом «полупроницаемых перегородок» при изучении распределения пор по размерам. По оси ординат откла­дывается капиллярное давление р_к, равное давлению в камере при­бора, а по оси абсцисс — доля объема пор (в процентах или долях единицы), занятая ртутью, водой или керосином (если исполь­зуется метод «полупроницаемых перегородок») при соответствующем значении р_к. При заполнении образца ртутью несмачивающей фа­зой будет ртуть, при вытеснении воды газом — газ.

Расчетные уравнения, связывающие проницаемость пород с порометрическими кривыми, могут быть легко получены, если представить пористую среду в виде системы капиллярных трубок разного сечения.

По закону Пуазейля [см. формулу (1. 15)] расход жидкости че­рез такую систему капилляров составит

, (1.24)

где R_i— радиусы капилляров; N — число капилляров.

Объемы капилляров, очевидно, будут равны

Подставляя эту величину вместо в формулу (1.24), полу­чим

, (1.25)

Радиусы капилляров R_i исходя из формулы (1/23), через капил­лярное давление, развиваемого менисками, можно выразить в виде

.

Подставляя эту величину в формулу (1. 25), получим

, (1.26)

где v_i — объем капилляра с радиусом R_i , (р_к)_i — капиллярное давление, развиваемое мениском в канале с радиусом R_i.

Уравнение вида (1. 26) может быть написано и для пористой среды. Для этого необходимо ввести в формулу структурный коэф­фициент, характеризующий отличительные особенности строения порового пространства реальных коллекторов

(см. § 11, гл. I). До­пустим далее для простоты, что величина структурного коэффици­ента определяется в основном степенью извилистости капиллярных каналов. Вследствие извилистости каналов длина их L₁ будет больше длины пористой среды L:

, (1.27)

где у — коэффициент, учитывающий извилистость каналов пористой среды. Тогда уравнение (1. 26) напишется в виде

, (1.28)

При тех же условиях фильтрации расход жидкости через по­ристую среду по закону Дарси будет равен

, (1.29)

где k, L и F — проницаемость, длина и площадь сечения пористой среды.

Приравнивая правые части уравнений (1.29) и (1.28), получим

, (1.30)

Учитывая, что коэффициент пористости равен

,

и выражая объем капилляров v_i в процентах от объема пор

уравнение (1.30) получим в виде

. (1.31)

При расчетах проницаемости по этой формуле опреде­ляется по кривой «капиллярное давление — насыщенность» (рис. 17). При увеличении давления, например, с р_к1 до р_к2 насыщенность изменяется на величину ΔS₁ в результате внедрения несмачива­ющей жидкости во все поры от R₁ до R₂, мениски в которых разви­вают капиллярные давления от р_к1 до р_к2 . Средний радиус пор R_ср в этом интервале можно определить по величине среднего капиллярного давления (р_к.ср)₁ . Тогда суммарную величину для всех п пор в интервале от R₁ до R₂ получим в виде

Суммируя величины для всех интервалов капиллярного давления, в пределе получим (при lim Δ S →0)

. (1.32)

Если используются данные ртутной порометрии, то б = 480 мн/м и ,,,,,, = 140°. Тогда, учитывая (1. 31), формулу для определения проницаемости по кривой р_к = f(5) можно написать в виде

(1.33)

где к — проницаемость в миллидарси; т — пористость в процен­тах; S — насыщенность порового пространства в процентах; р_к — капиллярное давление в кГ/см². Коэффициент у, учитывающий извилистость поровых каналов, определялся многими исследовате­лями. По данным В. Парцела величина f =1/y² изменяется в преде­лах 0,1—0,4 в зависимости от проницаемости и пористости горных пород при среднем значении f= 0,26.

Аналогичным образом при двухфазной системе эффективная проницаемость k_с для смачивающей фазы будет равна

(1.34)

Относительная проницаемость пористой среды для смачивающей фазы будет характеризоваться соотношением

(1.35)

и для не смачивающей фазы

(1.36)

где у_с и у_н — коэффициенты, учитывающие извилистость каналов, занятых смачивающей и не смачивающей фазами;

S_с — насыщен­ность порового пространства смачивающей фазой в долях единицы.

Соотношения коэффициентов извилистости при полном и частич­ном насыщении пор смачивающей фазой

и

могут быть оценены различными способами. Например, можно исхо­дить из предположения, что соотношение коэффициентов, учитыва­ющих извилистость и , зависит линейно от насыщенности порового пространства жидкостями.

Когда S_с = 1, по определению = 1. При S_С =S_С можно считать, что у'_с = 0, где S_С — насыщенность порового простран­ства смачивающей фазой; S_С — минимальная остаточная насыщен­ность порового пространства смачивающей фазой.

Тогда при условии, что соотношение коэффициента извилистости у'_с зависит линейно от насыщенности пор смачивающей фазой, величина у'_с при других значениях насыщенности будет равна

(1.37)

Для несмачивающей фазы имеем

у'_н =0 при S_С = 1 — S^’_H,

= 1 при S_С= S^’_c,

где S^’_H, — минимальная остаточная насыщенность не смачивающей фазой. Тогда при линейной зависимости у'_н от S_с соотношение = , при любых других насыщенностях порового пространства не смачивающей фазой будет равно

(1.38)

Учитывая (1.37) и (1.38), формулы для определения фазовых проницаемостей по кривым р_k — f(S) можно представить в виде

_(1.39)

_(1.40)