27.Загальне р-ня площини:
Ax+By+Cz+D=0, де D= - Ax0-By0-Cz0.
Розглянемо тепер, як розміщена площина α відносно сис-ми Оxyz залежно від значень коефіцієнтів у р-ні.
1. Нехай D=0. Р-ня набуде вигляду
Ax+By+Cz=0. Точка О (0;0;0) задовольняє р-ня, тобто належить площині. Це означає, що площина проходить через поч. координат.
2. Нехай С=0, А≠0, В≠0, D≠0. Тоді
Ax+By+D=0.
Нормальний вектор
перпендикулярний до осі Оz,
оскільки його проекція на цю вісь дор.
0. Отже, площина α паралельна цій осі.
Якщо ще й D=0,
то площина Ах+Ву=0 містить вісь Оz.
3. Нехай А=В=0, С≠0, D≠0. Тоді площина Cz+ D=0 паралельна відразу осям Ох і Оу і перпендикулярна до осі Оz.
28.Рівняння площини, що проходить через три задані точки. Рівняння площини у відрізках на осях. Рівняння площини, що проходить через три задані точки, які не лежать на одній прямій
Якщо задані координати трьох точок A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) і C(x3, y3, z3), які лежать на площині, то рівняння площини можна знайти за наступною формулою
x - x1 |
y - y1 |
z - z1 |
= 0 |
x2 - x1 |
y2 - y1 |
z2 - z1 |
|
x3 - x1 |
y3 - y1 |
z3 - z1 |
29.Кут між двома площинами. Умова паралельності і перпендикулярності двох площин.
Кутом між двома площинами називають один із суміжних двогранних кутів або , утворених цими площинами . Якщо площини не перетинаються, тобто паралельні, то кут між ними дорівнює 0 або .
Поклавши в цій формулі , дістанемо умову перпендикулярності площин: Якщо площини (22) паралельні, то і їхні нормальні вектори і також паралельні (колінеарні). Із умови паралельності векторів маємо Звідси дістаємо умову паралельності площин: Таким чином, у паралельних, площин коефіцієнти при відповідних координатах пропорційні. Відстань від точки до площини Нехай площина задана нормальним рівнянням і дано точку M0 (х0, у0. z0), що лежить поза площиною. Відстань від точки M0 до площини позначимо через а. Відхилом точки M0 від даної площини називається число якщо точка M0 і початок координат лежать по різні боки від даної площини, і число , якщо точка M0 і початок координат лежать по один бік від площини.
30.Нормальне рівняння площини. Відстань від точки до площини.
Нормальне рівняння площини
+ y cos? + z cos? ( p = 0,
де р – відстань від початку координат до площини,
n0(cos?, cos?, cos?) – одиничний вектор нормалі площини.
=1, є еліпсоїд.
((1, є двопорожнинний гіперболоїд.
=1, є однопорожнинний гіперболоїд.
= 2ру, є еліптичний параболоїд.
Цікавим є порівняння геометричних фігур на площині і в просторі,
рівняння яких у системах координат (0, i, j), (0, i, j, k) автентичні.
На площині У просторі
1 2