7.Розв*язування слар. Формули Крамера .

Метод Крамера (за формулами Крамера) — чисто теоретичний метод, непридатний до практичного використання через обчислювальну складність і малу точність, оскільки вимагає обчислення визначників, а тільки в одному визначнику доданків. Метод Крамера може застосовуватися для матриць 2×2, або, щонайбільше, 3×3.

. Формули Крамера і матричний метод розв'язання систем лінійних рівнянь не мають серйозного практичного застосування, оскільки пов'язані з громіздкими викладками. Практично для вирішення систем лінійних рівнянь найчастіше застосовується метод Гаусса, що складається в послідовному виключенні невідомих за такою схеме.Для того щоб вирішити систему рівнянь

  виписують розширену матрицю цієї системи і над рядками цієї матриці виробляють елементарні перетворення, приводячи її до вигляду, коли нижче головної діагоналі, що містить елементи будуть розташовуватися нулі.

Дозволяється:

1) змінювати порядок рядків матриці, що відповідає зміні порядку рівнянь,

2) множити рядки на будь-які відмінні від нуля числа, що відповідає множенню відповідних рівнянь на ці числа,

3) додавати до будь рядку матриці іншу, помножену на відмінне від нуля число , що відповідає додатку до одного рівняння системи іншого, помноженого на число.

За допомогою цих перетворень кожного разу виходить розширена матриця нової системи, равносильной вихідної, тобто такої системи, рішення якої збігається з рішенням вихідної системи.

8.Розв*язування довільних систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Гаусса та Джордана-Гаусса.

Метод Гаусса розвязування системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь до трикутного вигляду.

Метод Жордана-Гаусса використовується для розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходження оберненої матриці, знаходження координат вектора у заданому базисі, відшукання рангу матриці. Метод є модифікацією методу Гауса. Названий на честь Гауса та німецького математика та геодезиста Вільгельма Йордана

Алгоритм

1. Обирається перша зліва колонка, що містить хоч одне ненульове значення.

2. Якщо верхнє число у цій колонці - нуль, то обмінюється увесь перший рядок матриці з іншим рядком матриці, де у цій колонці нема нуля.

3. Усі елементи першого рядка діляться на верхній елемент обраної колонки.

4. Від рядків, що залишились, віднімається перший рядок, помножений на перший елемент відповідного рядка, з метою отримання у якості першого елемента кожного рядка (крім першого) нуля.

5. Далі, повторюємо ці операції із матрицею, отриманою з початкової матриці після викреслювання першого рядка та першого стовпчика.

6. Після повторення операцій n-1 разів отримаємо верхню трикутну матрицю.

7. Віднімаємо від передостаннього рядка останній рядок, помножений на відповідний коефіцієнт, щоб у передостанньому рядку залишилась лише 1 на головній діагоналі.

8. Повторюємо попередній крок для наступних рядків. У результаті отримуємо одиничну матрицю і рішення на місці вільного вектора (над ним необхідно виконувати ті самі перетворення).

Якщо всі вільні члени , система лінійних алгебраїчних рівнянь називається однорідною. Однорідна система має очевидний розв'язок, у якому всі . Цей розв'язок заведено називати тривіальним. Відмінні від тривіального розв'язки існують тільки тоді, коли матриця вироджена.

9.Однорідні системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Загальний та частковий розвязок ФСР. Умови існування нетривіального розвязку однорідної системи.

Система називається однорідною, якщо усі вільні члени дорівнюють

Якщо всі вільні члени , система лінійних алгебраїчних рівнянь називається однорідною. Однорідна система має очевидний розв'язок, у якому всі . Цей розв'язок заведено називати тривіальним. Відмінні від тривіального розв'язки існують тільки тоді, коли матриця вироджена.

Однорідні системи завжди сумісні, оскільки завжди існує так

званий тривіальний розв’язок х1 = х2 =…= хn = 0. Якщо в однорідній

системі кількість лінійно незалежних рівнянь менше кількості невідо-

мих, то така система, крім тривіального розв’язку, має безліч нетриві-

альних розв’язків. Однорідні системи можна розв’язувати методами

Гаусса й Жордана-Гаусса.

10.Лінійна модель Леонтьєва багатогалузевої економіки

Моде́ль міжгалузе́вого бала́нсу Лео́нтьєва, яку також називають моделлю «витрати — випуск» є основою багатьох лінійних моделей виробничого сектора економіки. За неї Василь Леонтьєв в 1973 році отримав нобелівську премію з економіки.