48. Похідні вищих порядків. Формула Тейлора

Щоб знайти від функції похідну другого порядку, треба знати спочатку від цієї функції похідну першого порядку , а потім від похідної знайти ще похідну першого порядку. Інакше кажучи, щоб знайти , треба функцію продиференціювати два рази.

Теорема:

• Нехай функція має похідну в деякому околі точки ,

• Нехай

• Нехай  — довільне додатнє число

тоді: при або при :

Це формула Тейлора із залишковим членом у загальній формі.

49. Правило Лопіталя.

Правило говорить, що якщо функції і задовольняють такі умови:

1. або ;

2. ;

3. в проколотому околі ;

4. Якщо g(x) і f(x)— диференційовані в проколотому околі ,

то існує . При цьому теорема вірна і для інших баз (для вказаної буде наведено доказ).

50. Умова сталості функції. Умови монотонності функції на проміжку.

Розриви функції бувають ліквідовні та неліквідовані:

1)         якщо функція fix) не визначена в точці хх або визначена,

але мають місце співвідношення

lim f(x)= lim /(х)ф/(хі),

то розрив в точці хх називають ліквідовним. В цьому випадку функ-

цію можна визначити або змінити її значення в точці х. так, щоб вико-нувались рівності

ATo/(x)=im+o/W=/^)-

2)         неліквідовні розриви поділяються на розриви першого та дру-

гого роду:

a)         якщо однобічні границі функції lim fix), lim fix) існу-

ють та скінченні, але не рівні між собою, то х. називають точкою розриву першого роду, а різницю lim fix)- lim /(х) назива-

ють стрибком функції;

b)         якщо хоча б одна з однобічних границь не існує або дорівнюєоо, то розрив в цій точці називають розривом другого роду.

51. Необхідність та достатні умови екстремуму функції.

Теорема(необхідні умови екстремуму). Якщо функція має в точці локальний екстремум, то в цій точці частинні похідні першого порядку по змінних рівні 0 або не існують.

Теорема(достатні умови екстремуму). Нехай в стаціонарній точці і деякому її околі функція має неперевні частинні похідні другого порядку. Якщо , то функція в точці має екстремум, причому максимум при і мінімум при . Якщо , то в точці екстремуму немає, при потрібно досліджувати додатково

52. Опуклість і вгнутість графіка функції, точки перегину. Асимптоти графіка функції. Загальна схема графіка функції.

Крива на проміжку наз. опуклою (угнутою), якщо всі т. лежать нижче (вище) будь-якої дотичної на цьому пром.

Теорема 1. 1) Якщо у всіх т. проміжку (с, b) для ф-ції f(x) друга її пох. додатна, то графік ф-ції вгнутий. 2)Якщо в усіх т. проміжку (а,с) друга пох. відємна, то графік ф-ції випуклий

Т., яка відокремлює опуклу частину кривої від вгнутої, наз. т. перегину.

Якщо т. х₀ є т. перегину графіка, f’’(x)=0 або не існує.

Теорема 1. Якщо для ф-ції f(x) друга пох. її f’’(x) у деякій т. x₀ перетвор. на 0 або не існує й при переході через цю т. змінює свій знак на обернений, то т. М(х₀, f(x₀)) є т. перегину.

Пряма l наз. асимптотою кривої у=f(x), якщо відстань d від змінної т. М на кривій до цієї прямої при віддаленні т. М у нескінченність прямує до нуля. Асимптоти бувають вертикальні та похилі. Вертик., якщо , або ,або , то пряма х=а .

Пох. Нехай крива у=f(x) має пох. асимпт. y=kx+b, тоді

.

Загальна схема побудови графіка:

1. Знайти область визнач. ф-ції.

2. Встановити парність (непар.) і періоди. ф-ції.

3. Знайти т. розриву та їх характер.

4. Визнач. т. перетину графіка з осями координат.

5. Знайти т. екстр. та обчисл. знач. ф-ції у цих т.

6. Визн. інтервали зрост. і спад. Ф-ції.

7. Знайти т. перегину, інтервали опуклості й вгнутості.

8. Знайти асимптоти.

9. Знайти гран. знач. ф-ції, коли х прямує до гран. т. області визнач.

Графік будують за характ. т. й лініями, отрим. в рез-ті досл. Якщо їх недост., знах. допоміжні т. ля деяких конкрет. знач. аргум.

53. Функції двох змінних та область їх визначення. Границя функції двох змінних. Неперервність і розривність функції двох змінних.

Якщо кожній сук-сті змінних (х₁, х₂,…х_n)= відпов. єдине знач. uU, то U наз. ф-цією багат. змінних.

Можна задати аналітично, таблично і графічно.

Витратами на вир-цтво даного виробу при даній техніці вир-цтва є ф-ція мат. витрат х і витрат на оплату роб. сили.y: z=f(x;y).

Розглян. ф-цію двох незал. змінних K, L, яка наз ф-цією Кобба-Дугласа, де K-к-ть кап., L-к-ть праці, яку вкладено у вир-цтво P=constK^αL^β, α+β=1.

Для граф. зобр. ф-ції багат. змінних викор. сис-му координат Oxyz у тривимірному просторі. Кожній парі чисел х та у відпов. т. Р(х;у) прощини Оху. У т. Р(х;у) провод. пряму, перпенд. до площ. Оху та познач. в ній відпов. знач. z; дістаємо в просторі т. Q з координатами (x;y;z). Точки Q, які відповід. різним знач. незал. змінних, утвор. певну поверхню. Така поверхня є граф. зобр. ф-ціії : z=f(x;y).

Лінією рівня наз. множ. всіх т. площини, в яких ф-ція : z=f(x;y) набуває однакових значень

Число В наз. границею ф-ції z=f(x;y) при хх₀, уу₀,мякщо для будь-якого ε>0 існує число δ>0 таке, що при виконанні нерів. 0<(x-x₀)²+(y-y₀)²<δ² викон. нерівність і познач.

Ф-ція z=f(x;y) наз. не перерв. в т. Р₀(х₀;у₀), якщо . Якщо неск. малим приростам х, у відповід. не скін. малий приріст ф-ції z. .

Властивості.

Теорема 1. Якщо ф-ція непер. в т., то вона обмежена деяким околом цієї т.

Теорема 2. Якщо ф-ції f(x;y) та g(x;y) непер. в т. , то в цій т. будуть непер. сума, добуток, частка цих ф-цій.

Теорема 3. Якщо ф-ція f(x;y) непер. на замкненій обм. множ., то серед її значень на цій множ. є як найм, так і найб.

Теорема 4. Нехай ф-ція f(x;y) не пер. на зв’язній множ. D і набуває у двох т. А і В цієї множ. значень різних знаків. Тоді у множ. D знайд. така т., що в ній ф-ція перетв. На нуль.

Теорема 5. Нехай ф-ція f(x;y) ) не пер. на зв’язній множ. D і набуває у двох т. А і В цієї множ. нерівних знач. Тоді на цій множ. вона набув. Будь-яких знач. μ, яке лежить між f(A) i f(B), тобто існує така т. сD, що f(c)= μ.