§ 5.4. Потенциал и работа электростатического поля.

Кулоновские силы консервативные, а их поле потенциальное. Напомним, что консервативными называются силы, работа которых одинакова для любых траекторий, соединяющих две точки. Работа консервативной силы по любому замкнутому пути равна нулю. Представим себе, что в электростатическом поле находится «чужой» заряд. На него действует кулоновская сила. Пусть этот заряд переместился по замкнутой траектории и вернулся в исходную точку. Источники электростатического поля неподвижны. После возвращения «чужого» заряда в исходное положение никаких изменений в системе не останется, все заряды окажутся в исходном положении. В соответствии с законом сохранения энергия системы не может измениться, и работа сил должна быть равна нулю. Следовательно, электростатическое поле потенциальное, и «чужой» заряд q в каждой точке поля имеет определенное значение потенциальной энергии W_п⁸. Работа по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2 равна убыли его потенциальной энергии: А₁₂=W_п1-W_п2. С другой стороны, А₁₂= .Здесь dl – элементарное перемещение заряда q. Сравнивая две эти две формул работы, получаем:

(5.4.1)

Левая часть формулы (5.4.1) не зависит от величины заряда q, а определяется только полем, следовательно, и в правой части формулы стоит разность характеристик поля в двух его точках 1 и 2. Эту характеристику называют потенциалом электростатического поля в точке и обозначают :

(5.4.2)

Потенциал электростатического поля есть его энергетическая характеристика, он численно равен потенциальной энергии положительного единичного заряда, помещенного в данную точку. Единицу измерения потенциала в СИ называют вольт (В): 1В=1Дж/1Кл. Потенциальная энергия заряда q, находящегося в точке поля с потенциалом 

W_п=q (5.4.3)

Работа электростатического поля по перемещению заряда из точки 1 в точку 2

А₁₂= q(₁ - ₂) (5.4.4)

Формула (5.4.4) позволяет дать еще одно определение потенциала. Пусть точка 2 находится за пределами электростатического поля (т.е. бесконечно далеко от создавших его зарядов). Тогда ₂=0, и потенциал в точке 1 поля численно равен работе по перемещению положительного единичного заряда из этой точки на бесконечность. Обозначим А_ - работу поля при перемещении «чужого» заряда q из точки поля с потенциалом  на бесконечность, тогда

= А_ /q (5.4.5)

§ 5.5. Связь напряженности и потенциала электростатического поля.

Напряженность есть силовая характеристика поля в точке, потенциал – его энергетическая характеристика. Они связаны друг с другом подобно тому, как связаны друг с другом консервативная сила, действующая на частицу, и потенциальная энергия частицы. Работа поля по перемещению заряда q на элементарном пути dl может быть вычислена так: dA=qE_ldl=-qd , откуда получаем:

E_l = -d /dl (5.5.1)

Эта формула означает, что проекция на направление dl.равна производной со знаком «минус» от  по l. Если известен потенциал в каждой точке поля как функция координат  = (х,у,z), то можно найти проекцию вектора напряженности на оси координат, а затем и вектор напряженности:

-grad (5.5.2)⁹

Из формулы (5.5.2), равно как из формул (5.4.1) и (5.4.2) следует:

(5.5.3)

Если перемещение происходит по замкнутому контуру, т.е. начальная точка 1 и конечная точка 2 пути совпадают, то криволинейный интеграл называют циркуляцией вектора по контуру и обозначают кружком на интеграле. Итак, в электростатическом поле циркуляция вектора напряженности по любому замкнутому контуру равна нулю:

(5.5.4)

Формула (5.4.9) математически выражает потенциальный характер поля.

Воспользуемся формулой (5.5.3) и получим формулу потенциала поля точечного заряда из формулы напряженности (см. формулы 5.2.2 и 5.2.3). Перемещение dl выберем вдоль направления вектора напряженности (dl= dr), тогда E_l=E=q/(4₀r²). Положения точек 1 и 2 задано соответственно r₁ и r₂. . Получили формулу потенциала поля точечного заряда:

 = (5.5.5)

Используя принцип суперпозиции и учитывая, что потенциал – скаляр, получаем, что потенциал поля, созданного несколькими источниками, равен алгебраической сумме потенциалов, созданных в этой точке каждым источником независимо от всех прочих:

(5.5.6)

Реальная или воображаемая поверхность в электрическом поле, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Из формулы (5.5.5) видно, что эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда – концентрические сферы, в центре которых находится источник поля. Обратите внимание, что силовые линии поля точечного заряда направлены радиально и перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Убедитесь самостоятельно, что этот вывод справедлив для любого электростатического поля¹⁰. Сечение эквипотенциальных поверхностей плоскостью дает эквипотенциальные линии (эквипотенциали).

Электростатическое поле можно изображать не только линиями напряженности, но и эквипотенциальными поверхностями или эквипотенциальными линиями. На рис. 21 представлены три электростатических поля: точечного заряда, диполя и двух одинаковых положительных заряда. Эквипотенциали - синие линии, силовые линии – красные.

Эквипотенциали нарисованы с постоянным шагом . Обратите внимание, что они, как и линии напряженности, сгущаются в области сильного поля. Вспомните, как на плоской топографической карте изображают рельеф местности, в частности, горы и возвышенности. На практике, исследуя топографию электростатического поля, легче измерить потенциалы (скаляр - одно число) разных точек поля, чем векторы напряженности (три числа), а затем, нарисовав эквипотенциали, построить линии напряженности (с таким способом Вы встретились в лабораторной работе N 22).