13. Принципова схема міжгалузевого баланса (мгб). Економіко-математична модель мгб. Продуктивність моделі

Принципова схема міжгалузевого балансу (МГБ) виробництва й розподілу суспільного продукту у вартісному вираженні. В основі МГБ лежить розподіл валового продукту на проміжний і кінцевий. Цей розподіл залежить не від матеріально-речового складу продукту, а від тієї ролі, яку він відіграє в процесі суспільного виробництва. Проміжний продукт – це частина валового продукту, яка не виходить зі стадії виробництва, а піддається подальшій переробці та становить поточні матеріальні витрати. Кінцевий продукт – це частина валового продукту, яка остаточно вийшла за межі поточного виробництва і використовується на невиробниче споживання (особисте та суспільне); нагромадження (виробниче те невиробниче); відшкодування зношеності та капітальний ремонт основних фондів; експорт (за відрахуванням імпорту).

Основою балансу є n галузей матеріального виробництва, які на схемі фігурують двічі: як виробничі (у рядку) і як споживаючі (у стовпці). Величина x_iJ, що стоїть на перетині і‑го рядка (і-ої виробничої галузі) і j-го стовпця (j-ої споживаючої галузі) і яку називатимемо міжгалузевим потоком, визначає вартість засобів виробництва, вироблених і-ю галуззю і споживаних як матеріальні витрати j-ю галуззю.

У стовпцях балансу відбивається структура матеріальних витрат і чистої продукції кожної галузі. Підсумок матеріальних витрат і чистої продукції галузі є її валовий продукт; у зв‘язку із цим для j-ї галузі запишемо рівноважне рівняння

X_J = х_1J + х_2J +… +х_iJ +…+ х_{n J} + V_J +m_J.

Таке рівняння можна записати для будь-якої споживаючої галузі:

Система рівнянь (3.1) є математичною моделлю МГБ. Вона характеризує вартісний склад продукції всіх галузей матеріального виробництва.

У рядках балансу відбивається розподіл продукції кожної галузі. Так, величини х_і1, х_і2, …, х_iJ, …, х_іn визначають кількість продукції і-ої галузі, витраченої відповідно в усіх галузях матеріального виробництва за звітний період. Величина у_і - це витрати продукції і-ї галузі за межею матеріального виробництва, тобто кінцева продукція і-ї галузі_. Отже, для і-ї виробничої галузі можна записати рівноважне рівняння:

X_і = х_i1 + х_i2 +… +х_iJ +…+ х_{i n} + y_i.

Для всіх виробничих галузей дістаємо систему рівнянь

Для того щоб матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А була продуктивною, необхідно і достатньо, щоб виконувалась одна з наведених далі умов:

1) існує невід’ємна матриця (Е – А)–1 ≥ 0;

2) матричний ряд збіжний, причому його сума дорівнює матриці (Е – А)–1;

3) найбільше за модулем власне значення матриці А, тобто роз­в’язок характеристичного рівняння |А – λЕ| = 0, строго менше від одиниці;4) усі головні мінори матриці (Е – А), тобто визначники матриць, утворені елементами перших рядків і перших стовпців цієї матриці, порядку від 1 до n, додатні.

14. Характеристика основних параметрів мгб.

До основних параметрів МГБ належать коефіцієнти прямих, опосереднених і повних витрат, які називаються технологічними і характеризують витрати продукції однієї галузі на виробництво продукції іншої. Коефіцієнтом прямих витрат а_iJ називають кількість продукції і-ї галузі, необхідної для виробництва одиниці валової продукції j-ї галузі. Очевидно, таких коефіцієнтів має бути n² для n галузей матеріального виробництва; їх можна записати у вигляді квадратної матриці, яку позначимо А:

З означення коефіцієнта прямих витрат випливає формула для його обчислення:

, ,

де х_iJ – міжгалузевий потік; х_J – валовий продукт j-ї галузі.

Коефіцієнти прямих витрат розраховуються у натуральному та вартісному вираженнях. У натуральному вираженні – це норми витрат продукції одного виду на виробництво продукції іншого, у вартісному – витрати продукції однієї галузі на 1 грн. валової продукції іншої. Коефіцієнти повних витрат можна розрахувати двома методами. Один із них ґрунтується на означенні цих коефіцієнтів, тобто як сума коефіцієнтів прямих і опосереднених усіх порядків витрат, а інший назвемо методом оберненої матриці. Для обгрунтування методу оберненої матриці, запишемо систему рівнянь розподілу продукції, тобто систему , у такому вигляді:

, .

Підставивши замість х_iJ їх вираження з формули , дістанемо

, , ,

дістанемо систему

, .

або в іншому вигляді

Х₁ = а₁₁Х₁ + а₁₂Х₂+…+а_1nX_n+y₁,

Х₂ = а₂₁Х₁ + а₂₂Х₂+…+а_2nX_n+y_2,

Х_n = а_n1Х₁ + а_n2Х₂+…+а_nnX_n+y_n.

Цю систему рівнянь можна записати в вигляді матричного рівняння X = AX + Y,

де Х – матриця-стовпець валових продуктів галузей; А – відома матриця коефіцієнтів прямих витрат; Y – матриця-стовпець кінцевих продуктів галузей.

Використовуючи одиничну матрицю, дістаємо матричне рівняння

Y = (E-A)X,

згідно з яким за заданою матрицею коефіцієнтів прямих витрат і матрицею валових продуктів усіх галузей можна обчислити матрицю кінцевих продуктів.

У рівнянні (3.4) можна виразити Х через Y. Для цього помножимо зліва ліву та праву частини цього рівняння на матрицю (Е-А)^-1

Х = (Е-А)^-1 Y.

Матриця (Е-А)^-1 є матрицею коефіцієнтів повних витрат, яку позначають В, а її елементи - b_iJ. Отже, b_iJ – витрати продукції і-ї галузі на одиниці кінцевого продукту j-ї галузі.