- •Билет №1
- •1.Функция двух переменных. Определение. Примеры функций. Предел и непрерывность функции. Теоремы о свойствах непрерывных функций. (сформулировать)
- •Билет №2
- •1.Частные производные. Определение. Формулы и правила для их вычисления.
- •Билет №3
- •1.Дифференциируемость и дифференциал функции двух переменных. Необходимые условия дифференцируемости. (Доказать)
- •Билет №4
- •1.Теорема о достаточных условиях дифференцируемости функции двух переменных. (Доказать)
- •Билет №5
- •1.Производные от сложных функций двух переменных (доказать формулы). Полная производная.
- •Билет №6
- •1.Производные второго порядка и дифференциал второго порядка функции двух переменных.
- •Билет №7
- •1.Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума (доказать). Достаточные условия экстремума. (Сформулировать)
- •Билет №8
- •1.Скалярное поле. Производная по направлению: определение, формула для вычисления (доказать). Градиент: определение, его связь с производной по направлению (доказать формулу).
- •Билет №9
- •1.Неявная функция. Определение, примеры. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции (сформулировать).
- •Билет №10
- •1.Первообразная и неопределенный интеграл (определения). Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.
- •Билет №11
- •1.Непосредственное интегрирование. Теорема об инвариантности формул интегрирования (доказать). Подведение под знак дифференциала.
- •Билет №12
- •1.Интегрирование методом замены переменной (доказать формулу). Интегрирование по частям.
- •Билет №13
- •1.Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •Билет №14
- •Билет №15
- •1.Определенный интеграл. Определение, геометрический смысл.
- •Билет №16
- •1.Свойства определенного интеграла (перечислить, теорему о среднем доказать).
- •Билет №17
- •1.Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Определение. Теорема об его производной (доказать). Формула Ньютона-Лейбница (доказать).
- •Билет №18
- •1.Замена переменной в определенном интеграле (доказать формулу). Интегрирование по частям.
- •Билет №19
- •Билет №20
- •Билет №21
- •1.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Определение, их решение.
- •Билет №22
- •1.Дифференциальные уравнения первого порядка с однородными функциями. Определение, их решения.
- •Билет №23
- •1.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Решение методом вариации произвольного постоянного.
- •Билет №24
- •1.Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
- •Билет №25
- •Билет №26
- •1.Понятие о линейной независимости функций. Определитель Вронского для функций. Теорема о необходимом условии линейной зависимости двух функций (доказать).
- •Билет №27
- •1.Необходмое и достаточное условие линейной независимости двух решений однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.
- •Билет №28
- •Билет №29
- •1.Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами. Построение их общего решения в зависимости от корней их характеристического уравнения.
- •Билет №30
- •1.Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-ого порядка. Теорема об общем решении (доказать). Теорема о частном решении, если правая часть уравнения есть сумма двух функций.
- •Билет №31
- •1.Способ неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.
Билет №14
1.Вычисление ∫R(Sinx,Cosx)dx (1). Универсальная и частная замены. Вычисление ∫SinmxCosnx dx. Тригонометрические замены.
Подынтегральная ф-ия-рациональная ф-ия, аргументами которой являются sinx, cosx. Этот интеграл при помощи универсальной замены t=tg x/2 приводится к интегралу от рац ф-ии переменной t, т.к. sinx, cosx, dx рац выражаются через t=tg x/2.
Sinx=(2tgx/2)/(1+tg2x/2)=2t/(1+t2), cosx=(1-tg2x/2)/(1+tg2x/2)=(1-t2)/(1+t2), x/2=arctgt, dx=2dt/(1+t2)
Т.к. рациональная ф-ия от рациональных ф-ий есть ф-ия рациональная, то подставив эти выражения (1), получим интеграл от рациональных ф-ий.
=
Универсальная замена t=tg x/2 позволяет проинтегрировать любую ф-ию R(Sinx,Cosx), однако может привести к трудоёмким вычислениям.
Если выполняется условие R(-sinx;-cosx)=R(sinx;cosx), т.е. sinx, cosx входят под знак интеграла только в четных степенях, то удобнее применять частную подстановку t=tgx. При этом:
Cos2x=1/(1+tg2x)=1/(1+t2), sin2x=tg2x/(1+tg2x)=t2/(1+t2), x=arctgx, dx=dt/(1+t2), т.е. Cos2x, sin2x, dx выражаются рационально через t. Поэтому выполнив замену переменной t=tgx, получим интеграл от рациональной ф-ии переменной t.
К интегралу вида (1) относится также ∫SinmxCosnx dx, просто этот ∫ вычисляется в след случаях:
1.либо m либо n – нечетное число. (n-нечетное: t=sinx; m: t=cosx)
2.(m+n) – чётное отрицательное число: t=tgx
3. m и n – чётные числа, используем формулы понижения степени: cos2x=(1+cos2x)/2, sin2x=(1-cos2x)/2.
Тригонометрические замены: к интегралу вида ∫R(Sinx,Cosx)dx приводятся интегралы:
∫R(x, dx при помощи замены х=asint
∫R(x, dx при помощи замены х=atgt
∫R(x, dx при помощи замены х=a/sint
Билет №15
1.Определенный интеграл. Определение, геометрический смысл.
Пусть на отрезке [a,b] задана ф-ия у=f(x). Произвольно выберем на отрезке [a,b] точки
а=х0,х1,хi-1,xi,…,хn=b. Такой набор точек xi, i=1,2,..,n будем называть разбиением отрезка [a,b] и обозначать Т. Обозначим Δxi= xi - хi-1 – длина отрезка. [хi-1, xi]; λ=maxΔxi, 1≤i≤n, будем называть параметром разбиения. В каждом из отрезков [хi-1, xi] произвольно выберем т.сi. Набор точек {сi}={c1,c2,…,cn} будем называть промежуточными точками. Составим сумму: f(c1)Δx1+ f(c2)Δx2+…+ f(cn)Δxn= =σ (1). Эта сумма – интегральная сумма для ф-ии f(x) на отрезке [a,b], соответствующая данному разбиению Т отрезка [a,b] и данному набору промежуточных точек {сi}.
Опред1: Число J называется пределом интегральной суммы при λ→0: J= , если ε>0 δ>0 такое, что с λ(Т)<δ и (независимо от набора промежуточных точек) выполняется неравенство <ε.
Опред2: ф-ия f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b], если сущ-ет = J. Величина этого предела называется определенным интегралом от данной ф-ии по данному отрезку и обозначается . Числа а и в называются соответственно нижним и верхним пределом интеграла, х – переменной интегрирования. Определенный интеграл(число) не зависит от того, какая стоит переменная под интегралом, ее можно обозначить любой буквой = , а зависит только от ф-ии f(x) и отрезка [a,b].
Т о сущ-нии определенного интеграла: если ф-ия f(x)непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.
Геометрический смысл определенного интеграла: пусть f(x)≥0, х [a,b]. Тогда число равно площади прямоугольника с основанием Δxi= xi - хi-1 и высотой f(ci). Следовательно интегральная сумма равна площади ступенчатой фигуры, образованной из прямоугольников с основаниями и высотами соответсвенно: .
Площадь этой ступенчатой фигуры σ≈S – площадь криволинейной трапеции- фигуры, ограниченной графиком ф-ии у= f(x), 2умя прямыми х=а и х=в и отрезком[a,b] оси 0х. Т.о. σ= ≈S.
Погрешность этого равенства будет тем меньше, чем меньше длина каждого отрезка разбиения , т.е. чем меньше λ. Точное значение площади криволинейной трапеции: S= = .