- •Билет №1
- •1.Функция двух переменных. Определение. Примеры функций. Предел и непрерывность функции. Теоремы о свойствах непрерывных функций. (сформулировать)
- •Билет №2
- •1.Частные производные. Определение. Формулы и правила для их вычисления.
- •Билет №3
- •1.Дифференциируемость и дифференциал функции двух переменных. Необходимые условия дифференцируемости. (Доказать)
- •Билет №4
- •1.Теорема о достаточных условиях дифференцируемости функции двух переменных. (Доказать)
- •Билет №5
- •1.Производные от сложных функций двух переменных (доказать формулы). Полная производная.
- •Билет №6
- •1.Производные второго порядка и дифференциал второго порядка функции двух переменных.
- •Билет №7
- •1.Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума (доказать). Достаточные условия экстремума. (Сформулировать)
- •Билет №8
- •1.Скалярное поле. Производная по направлению: определение, формула для вычисления (доказать). Градиент: определение, его связь с производной по направлению (доказать формулу).
- •Билет №9
- •1.Неявная функция. Определение, примеры. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции (сформулировать).
- •Билет №10
- •1.Первообразная и неопределенный интеграл (определения). Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.
- •Билет №11
- •1.Непосредственное интегрирование. Теорема об инвариантности формул интегрирования (доказать). Подведение под знак дифференциала.
- •Билет №12
- •1.Интегрирование методом замены переменной (доказать формулу). Интегрирование по частям.
- •Билет №13
- •1.Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •Билет №14
- •Билет №15
- •1.Определенный интеграл. Определение, геометрический смысл.
- •Билет №16
- •1.Свойства определенного интеграла (перечислить, теорему о среднем доказать).
- •Билет №17
- •1.Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Определение. Теорема об его производной (доказать). Формула Ньютона-Лейбница (доказать).
- •Билет №18
- •1.Замена переменной в определенном интеграле (доказать формулу). Интегрирование по частям.
- •Билет №19
- •Билет №20
- •Билет №21
- •1.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Определение, их решение.
- •Билет №22
- •1.Дифференциальные уравнения первого порядка с однородными функциями. Определение, их решения.
- •Билет №23
- •1.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Решение методом вариации произвольного постоянного.
- •Билет №24
- •1.Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
- •Билет №25
- •Билет №26
- •1.Понятие о линейной независимости функций. Определитель Вронского для функций. Теорема о необходимом условии линейной зависимости двух функций (доказать).
- •Билет №27
- •1.Необходмое и достаточное условие линейной независимости двух решений однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.
- •Билет №28
- •Билет №29
- •1.Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами. Построение их общего решения в зависимости от корней их характеристического уравнения.
- •Билет №30
- •1.Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-ого порядка. Теорема об общем решении (доказать). Теорема о частном решении, если правая часть уравнения есть сумма двух функций.
- •Билет №31
- •1.Способ неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.
Билет №20
1.Дифференциальные уравнения первого порядка. Формы записи. Задача Коши. Теорема Коши (сформулировать). Общее и частное решение дифференциального уравнения y’=f(x,y), общий и частный интегралы (дать определения).
Дифференциальное ур-е первого порядка в общем виде записывается так: F(x,y,y’)=0 (1).
Если это возможно, то (1) удобно записывать в форме, разрешенной относительно производной: y’=f(x,y) (2) или в форме, содержащей дифференциалы M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (3).
От формы (2) легко перейти к форме (3) и наоборот, имея в виду, что: y’=dy/dx.
Задача Коши: пусть нам задано диф ур-е (2). Среди всех решений диф ур-я y’=f(x,y) найти такое, которое удовлетворяет заданному начальному условию, т.е., чтобы оно принимало заданное значение у0 при заданном значении независимой переменной х0.
Геометрически это означает, что среди всех интегральных кривых диф ур-я (2) требуется найти ту, которая проходит через заданную точку М0(х0,у0). При каких условиях решение задачи Коши сущ-ет и единственно? Наиболее простые из них дает следущая теорема существования и единственности решения дифференциального ур-я первого порядка.
Теорема Коши: пусть ф-ия f(x,y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную δf/δy в некоторой области D на плоскости хоу. Тогда для любой внутренней точки М0(х0,у0) этой области найдется интервал, содержащий х0, на котором сущ-ет единственное решение у=ф(х) ур-ия y’=f(x,y), удовлетворяющее условию у=у0 при х=х0.
Геометрический смысл: теорема означает, что через каждую внутреннюю точку М0(х0,у0) области Dобязательно проходит интегральная кривая ур-я (2) и эта кривая единственна в пределах обл.(никакой другой кривой через точку М0(х0,у0) в пределах обл не проходит).
Из теоремы следует, что диф ур-е (2) имеет бесчисленное множество решений, т.к. через каждую внутреннюю точку области проходит интегральная кривая.
Опред1: пусть в обл D правая часть диф ур-я (2) f(x,y) удовлетворяет условиям теоремы Коши. Ф-ия у=ф(х,С), которая зависит от одного произвольного постоянного С, называется общим решением диф ур-я y’=f(x,y) в обл D, если она удовлетворяет условиям:
1.ф-ия ф(х,С) удовлетворяет диф ур-ю при любом численном значении С
2.для любой внутренней точки М0(х0,у0) D сущ-ет единственное постоянное значение С=С0, такое что решение у=ф(х,С0) удовлетворяет начальному условию у=у0 при х=х0. При решении диф ур-я не всегда удается получить общее решение в явном виде у=ф(х,С). Равенство вида Ф(х,у,С)=0, неявно задающее общее решение, называется общим интегралом диф ур-я.
Опред2: любая ф-ия у=ф(х,С0), которая получается из общего решения у=ф(х,С) при конкретном значении С=С0, называется частным решением диф ур-я. Соотношение ф(х,у,С0)=0 называется частным интегралом диф ур-я.
График кажд частного решения – интегральная кривая. Общее решение геометрически представляет собой семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра.
Билет №21
1.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Определение, их решение.
Диф ур-е вида f(x)dx+g(y)dy=0 (1), где f(x) и g(y) – непрерывные ф-ии, зависящие соответственно только от х и только от у, называется диф ур-ем с разделенными переменными.
Теорема: общий интеграл диф ур-я (1) дается формулой: + =C.
Диф ур-е первого порядка называется ур-ем с разделяющимися переменными, если мб представлено в виде: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (2), где каждая из ф-ий P и Q разлагается на множители, зависящие только от одной переменной х или у, т.е. ур-е (2) можно записать так: f1(x)f2(y)dx+ф1(х)ф2(у)dy=0 (3).
Разделим ур-е (3) на f2(y)φ1(x): + =0. Получили ур-е с разделенными переменными, общий интеграл которого согласно теореме дается формулой: + =С (4)
Замечание: при делении обеих частей ур-я (3) на f2(y)φ1(x) мы могли потерять решения, определяемые ур-ми f2(y)=0 и φ1(x)=0
Пусть у=b-корень ур-я f2(y)=0. Подставим у=b в ур-е (3): f1(x)f2(b)dx+ф1(х)ф2(b)db=0, т.к. f2(b)=0, db=0→ у=b есть решение ур-я (3). Аналогично, если х=а-корень ур-я, ф1(х)=0, то х=а – решения ур-я (3).
Если такие решения у=b и х=а не входят в семейство (4), т.е. не получаются из (4) ни при каких числовых значениях С, то они являются особыми решениями ур-я (3). Из решения у=b нужно исключить точку с абсциссой х=а, т.к. в точке (а,b) ур-е (3) не определяет наклон поля у’. Из решения х=а следует исключить точку с ординтой у=b.