Билет №19

1.Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей в прямоугольных координатах. Вычисление длин дуг, заданных в прямоугольных координатах уравнением y=f(x), x [a,b] и заданных параметрически. Доказать соответствующие формулы.

1.Вычисление площадей в прям координатах.

1) если f(x) непрерывная и неотрицательная на отрезке [a,b] ф-ия, то площадь криволинейной трапеции аАвВ вычисляется по формуле S=

2) если f(x) меняет знак на отрезке [a,b], то отрезок [a,b] следует разделить на части, в каждой из которых f(x) сохраняет знак. Площади фигур, находящихся над осью 0х берут со знаком плюс, а площади фигур под осью 0х со знаком минус: Q₁= , Q₂= - , Q₃= . Тогда площадь криволинейной трапеции аАвВ равна: S=Q₁+Q₂+Q₃= .

3)криволинейная трапеция АВСД ограничена и снизу, и сверху непрерывными кривыми, ур-я которых у₁=f(x), y₂=g(x), х [a,b], причем f(x)≥ g(x)≥0. Рассматривая криволинейную тарпецию АВСД как разность фигур аСДв и аАВв, получим: S_ABCD= - = .

4)если g(x) меняет знак на отрезке [a,b], то площадь криволинейной трапеции АВСД вычисляется также по формуле S_ABCD= - =

2.Вычисление длин дуг.

1) пусть плоская кривая АВ задана в прям координатах ур-ем у=f(x), х [a,b]. Рассмотрим Т-произвольное разбиение отрезка[a,b]. Пусть х₀=а<х₁<х₂<…<х_n=b- точки разбиения, λ(Т) – параметр разбиения. Обозначим А, А₁, А₂,…,В, тчки на дуге АВ с абсциссами соответственно х₀,х₁,х₂,…,x_n. Соединим последовательно точки А, А₁, А₂,…,В прямолинейными отрезками. Получим ломанную Л= А, А₁, А2,…,В вписанную в дугу АВ. Обозначим: ΔS_i, 1≤i≤n, длину каждого звена ломаной А_i-lA_i; L(T)-длину ломаной, которая образуется при данном разбиении отрезка Т отрезка [a,b].

Длина ломаной равна L(T)= = , где Δyi=f(x_i)-f(x_i-1).

Опред: Если сущ-ет , то кривая АВ называется спрамляемой, а число L называется длиной дигу АВ. «на языке ε-δ»: для ε>0 δ>, такое что для такого, что λ(Т)<δ выполняется неравенство <ε.

Теорема: Пусть f(x), f’(x)непрерывны на [a,b],тогда кривая АВ спрамляема и L= .

Док-во:

По т Лагранжа =f’(c), x_i-1<c<x_i. Поэтому ΔS_i= = Δx_i= Δx_i, xi-1<c<xi. Длина вписанной ломаной: L(T)= = Δx_i,. В правой части равенства интегральная сумма для ф-ии ф(х)= на [a,b]. Т.к. по условию f’(x) непрерывна на [a,b], то и ф(х) непрерывна на [a,b]. Поэтому сущ-ет = = = =

2.Кривая заданная параметрическими ур-ми.

,где t [α,β]. (1)

Каждому значению t₀ из [α,β] ур-я (1) приводят в соответствие пару чисел х0= и у0= . Числа х0 и у0 можно рассматривать как прямоугольные координаты точки на плоскости. Когда t изменяется от α до β, точка на плоскости описывает некоторую кривую АВ.

Теорема. Пусть ф-ии φ(t), ψ(t) имеют производные на [α,β]. Тогда параметрические ур-я (1) определяют однозначную и дифференцируемую ф-ию у от х, причем dy/dx=φ’(t)/ψ’(t).

Док-во:

По условию сущ-ет φ’(t) на [α,β]→ φ(t) непрерывна на [α,β]. Т.к. φ’(t) знакопостоянна на [α,β], то φ(t) строгомонотонна на [α,β]. Т.о. φ(t) непрерывна и строгомонотонна. Поэтому, эта ф-ия имеет обратную дифференц ф-ию t=Ф(х), причем Ф’(х)=1/ φ’(t).

Тогда у= ψ(t)= ψ[Ф(х)] есть сложная ф-ия от х. По правилу дифференцирования сложной ф-ии: dy/dx=ψ’_t* Ф’(х)= ψ’(t)/φ’(t).

Пусть а=ф(α), в=ф(β). В интеграле L= выполним замену переменной х= φ(t) и dx= φ’(t)dt. Получим: L= = * φ’(t)dt=