- •Билет №1
- •1.Функция двух переменных. Определение. Примеры функций. Предел и непрерывность функции. Теоремы о свойствах непрерывных функций. (сформулировать)
- •Билет №2
- •1.Частные производные. Определение. Формулы и правила для их вычисления.
- •Билет №3
- •1.Дифференциируемость и дифференциал функции двух переменных. Необходимые условия дифференцируемости. (Доказать)
- •Билет №4
- •1.Теорема о достаточных условиях дифференцируемости функции двух переменных. (Доказать)
- •Билет №5
- •1.Производные от сложных функций двух переменных (доказать формулы). Полная производная.
- •Билет №6
- •1.Производные второго порядка и дифференциал второго порядка функции двух переменных.
- •Билет №7
- •1.Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума (доказать). Достаточные условия экстремума. (Сформулировать)
- •Билет №8
- •1.Скалярное поле. Производная по направлению: определение, формула для вычисления (доказать). Градиент: определение, его связь с производной по направлению (доказать формулу).
- •Билет №9
- •1.Неявная функция. Определение, примеры. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции (сформулировать).
- •Билет №10
- •1.Первообразная и неопределенный интеграл (определения). Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.
- •Билет №11
- •1.Непосредственное интегрирование. Теорема об инвариантности формул интегрирования (доказать). Подведение под знак дифференциала.
- •Билет №12
- •1.Интегрирование методом замены переменной (доказать формулу). Интегрирование по частям.
- •Билет №13
- •1.Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •Билет №14
- •Билет №15
- •1.Определенный интеграл. Определение, геометрический смысл.
- •Билет №16
- •1.Свойства определенного интеграла (перечислить, теорему о среднем доказать).
- •Билет №17
- •1.Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Определение. Теорема об его производной (доказать). Формула Ньютона-Лейбница (доказать).
- •Билет №18
- •1.Замена переменной в определенном интеграле (доказать формулу). Интегрирование по частям.
- •Билет №19
- •Билет №20
- •Билет №21
- •1.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Определение, их решение.
- •Билет №22
- •1.Дифференциальные уравнения первого порядка с однородными функциями. Определение, их решения.
- •Билет №23
- •1.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Решение методом вариации произвольного постоянного.
- •Билет №24
- •1.Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
- •Билет №25
- •Билет №26
- •1.Понятие о линейной независимости функций. Определитель Вронского для функций. Теорема о необходимом условии линейной зависимости двух функций (доказать).
- •Билет №27
- •1.Необходмое и достаточное условие линейной независимости двух решений однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.
- •Билет №28
- •Билет №29
- •1.Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами. Построение их общего решения в зависимости от корней их характеристического уравнения.
- •Билет №30
- •1.Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-ого порядка. Теорема об общем решении (доказать). Теорема о частном решении, если правая часть уравнения есть сумма двух функций.
- •Билет №31
- •1.Способ неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.
Билет №16
1.Свойства определенного интеграла (перечислить, теорему о среднем доказать).
1.Пусть f(x), g(x) интегрируемы на отрезке [a,b]. Тогда ф-ии f(x)±g(x) также интегрируемы на отрезке [a,b], причем = +
2.Пусть f(x) интегрируема на [a,b]. С-число. Тогда С*f(x) интегрируема на [a,b], причем
=C .
3.Пусть ф-ия f(x) интегрируема на отрезках [a,c] и [с,b], a<c<b. Тогда f(x) интегрируема на [a,b], причем = +
4. Пусть f(x), φ(x) интегрируемы на отрезке [a,b] и удовлетворяют условию f(x)≤φ(x). Тогда ≤
5. Пусть f(x) интегрируема на [a,b].m и M-наименьшее и наибольшее значения ф-ии на отрезке. Тогда m(b-a)≤ ≤M(b-a)
6. Теорема о среднем.
Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда на этом отрезке найдется точка С, такая, что =f(C)(b-a)
Док-во:
Пусть m и M-наименьшее и наибольшее значения ф-ии на отрезке [a,b], существующие по первой теореме Вейерштрасса.
По св-ву 5: m≤ ≤M. Обозначим =μ.
Т.к. f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то по второй теореме Больцано-Коши, она принимает промежуточное значение μ в некоторой точке С отрезка[a,b], т.е. найдется точка С [a,b] такая, что
μ=f(C), т.е. f(C)= или =f(C)(b-a).
Билет №17
1.Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Определение. Теорема об его производной (доказать). Формула Ньютона-Лейбница (доказать).
Пусть ф-ия f(t) интегрируема на отрезке [a,b]. Возьмем х [a,b]. По св-ву 3(Пусть ф-ия f(t) интегрируема на отрезках [a,c] и [с,b], a<c<b. Тогда f(x) интегрируема на [a,b], причем = + ) f(t) интегрируема и на отрезке [a,x]. Подсчитаем . Это будет некоторое число равное площади криволинейной трапеции аАХх. Т.о. х [a,b] ставится в соответствие число . Тем самым на отрезке [a,b] задана ф-ия F(x)= , которую называют определенным интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема: пусть ф-ия f(t) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда ф-ия F(x) имеет производную в каждой точке х [a,b], причем
F’(x)=( )=f(x).
Док-во:
Дадим аргументу приращение Δх и подсчитаем приращение ф-ии ΔF.
ΔF=F(x+Δх)-F(x)= - =(по св-ву 3) + = =(по св-ву 6.Теорема о среднем.Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда на этом отрезке найдется точка С, такая, что =f(C)(b-a)) …=f(c)Δx, x<C<x+Δх.
Составим разностное отношение: = =f(C).
Тогда F’(x)= = = =f(x) (c→x в силу непрерывности f(x) на [a,b]).
Т.о. мы доказали утверждение, о том, что для непрерывной на отрезке [a,b] ф-ии f(x) всегда сущ-ет первообразная, примером ее является определенный интеграл с переменным верхним пределом F(x)= .
Формула Ньютона-Лейбница: Пусть Ф(х)-какая либо первообразная для непрерывной ф-ии f(x) на отрезке [a,b]. Тогда справедлива формула: =Ф(b)-Ф(a)=Ф(х) .
Док-во:
Для непрерывной на отрезке [a,b] ф-ии f(x) интеграл F(x)= является первообразной ф-ей. Было доказано ранее, что разность между 2умя первообразными равна постоянному числу:
F(x)-Ф(x)=C. Положим здесь х=а и учтем, что F(a)=0. Тогда 0-Ф(а)=С или С=-Ф(а). При х=b получим F(b)= =Ф(b)-Ф(a).
Билет №18
1.Замена переменной в определенном интеграле (доказать формулу). Интегрирование по частям.
, где f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Введем ф-ию х=φ(t):
1. φ(t) определена и непрерывна на [α;β]
2. [a,b]-множество значений ф-ии х=φ(t), когда t [α;β].
3.φ(α)=а; φ(β)=b
4. сущ-ет и непрерывна φ’(t) на [α;β].
Тогда справедлива формула = . (1)
Док-во:
Вычислим левый и правый интегралы формулы (1) исходя из какой либо первообразной для ф-ии f(x). Пусть Ф(x)-первообразная для ф-ии на отрезке [a,b].
Тогда левый интеграл (1) считаем по формуле Ньютона-Лейбница: =Ф(b)-Ф(a).
Рассмотрим сложную ф-ию Ф[φ(t)], t [α;β]. Эта сложная ф-ия дифференцируема на [α;β], т.к. ф-ии Ф(x) и φ(t) дифференцируемы на соответствующих отрезках [a,b] и [α;β].
По правилу отыскания производной сложной ф-ии:
=Ф’[φ(t)]*ф’(t)= ,поскольку x= φ(t)
Т.к. =f(x), при x= φ(t) получим Ф’[φ(t)]=f[φ(t)] и окончательно: = f[φ(t)]*ф’(t).
Следовательно ф-ия Ф[φ(t)] является первообразной для ф-ии f[φ(t)]*ф’(t) на отрезке [α;β](по определению первообразной).
По формуле Ньютона-Лейбница: =Ф[φ(β)]-Ф[φ(α)]=Ф(b)-Ф(a).
Левый и правый интегралы формулы (1) равны.
Замечание: при вычислении опр интеграла по формуле (1) нет надобности возвращаться к старой переменной. Если вычислен правый интеграл (1), то вычислен и левый.
Пусть ф-ии U(x), V(x) имеют непрерывные производные на [a,b]. Тогда =UV - -формула интегрирования по частям для определенных интегралов.