8.4. Корни многочленов над конечными полями. Построение многочленов на основе заданных корней.

Одним из основных результатов обычной алгебры является положение, что любой многочлен степенис действительными или комплексными коэффициентами всегда имеет ровнодействительных или комплексных корней, что означает возможность его представления в виде

,

тем самым, указывая путь построения полинома по заданным корням . В том случае, когда необходимо, чтобы полиномс обязательно вещественными коэффициентами (т.е. полином над полем вещественных чисел) содержал и комплексные корни, тогда во множестве корнейкаждому комплексному корню следует сопоставить комплексно сопряженный. Следовательно, для любого полинома с вещественными коэффициентами комплексные корни всегда имеют свою сопряженную пару. Как будет показано далее, подобная ситуация имеет место и в случае полиномов над конечными полями.

Ранее (см. 8.1) полиномы трактовались как форма представления элементов расширенного поля, в которой формальная переменнаяслужила указателем позиции соответствующего коэффициента. Рассмотрим теперь полиномы как обычные функции, допускающие подстановку вместо переменнойнекоторых значений. В частности, рассмотрим двоичные полиномы (т.е. полиномы над полем) и подставим в них вместо переменнойэлементы некоторого расширенного поля. Если при подстановке в двоичный полиномв качестве аргумента некоторогоимеет место, то говорят, что элемент, лежащий в расширенном поле, являетсякорнемполинома.

Пример 8.4.1.Рассмотрим полином. Путем простой подстановки элементовлегко убедиться, что данный полином не имеет корней в основном поле:. Вместе с тем, обратившись к таблице 8.2 в примере 8.2.5, можно увидеть, что, следовательно,является корнем полиномав поле. Тем самым, подтверждая существующую аналогию с корнями многочленов из обычной алгебры, упомянутой ранее.

Пусть – расширение простого поляи пусть– некоторый ненулевой элемент поля. Тогда приведенный неприводимый (или простой) полиномнаименьшей степени над, для которого, называетсяминимальным многочленом над.

Теорема 8.4.1.Еслиявляется корнем неприводимого над полеммногочленастепени, то и все 2–сопряженные элементы, также являются корнями полинома.

Доказательство:Пусть– корень неприводимого надполинома. Тогда при подстановкеввыполняется соотношение

.

Если теперь в вместоподставить, то получим выражение

,

которое, с учетом теорем 8.3.1–8.3.2, преобразуется к виду

.

Следовательно, если – корень многочлена, то иявляется корнем этого полинома. Не составляет труда показать, что и элементы, полятакже являются корнями полинома.

Пример 8.4.2.Возвращаясь к условиям примера 8.4.1, можно убедиться, что полиномнаряду симеет корнями следующие элементы:

– ;

– ,

которые являются сопряженными по степени 2 с . Поскольку, то, следовательно, найдены все корни полинома.

Таким образом, на основании теоремы 8.4.1 минимальный многочлен элемента может быть представлен в виде

,

где – длина множества 2–сопряженных сэлементов.

Пример 8.4.3.Используя результаты примера 8.4.2, решим обратную задачу построения минимального полинома для элемента. Тогда на основании последнего утверждения

.

что и следовало ожидать.

Теорема 8.4.2.В конечном поле,, любой ненулевой элементудовлетворяет соотношению

или,

а, значит, является корнем бинома

.

Доказательство: Пустьимеет мультипликативный порядок, который, согласно теореме 8.2.1, делит, т.е. число ненулевых элементов поля. Тогда

,

а значит, является корнем многочленаи, следовательно, корнем бинома.

Тогда на основании теоремы 8.4.2 и того факта, что все ненулевые элементы поля могут быть выражены как некоторая степень примитивного элемента, выполняется соотношение

.