8.8. Коды Рида–Соломона.

Если при построении, согласно теореме 8.6.1, порождающего полинома игнорировать сопряженные по степени 2 циклы элементови составлять его как произведение только биномов видато получающийся полином окажется недвоичным. Вследствие этого и код, порождаемый им, также окажется недвоичным, поскольку символы кода будут принадлежать расширенному полю. В то же время использование 2–сопряженных циклов объясняется только необходимостью переводаво множество двоичных полиномов и не имеет никакого отношения к достижению предсказанного кодового расстояния. Другими словами,–ичный () код с порождающим полиномом вида

,

называемый кодом Рида–Соломона, или простоРС–кодом, полностью удовлетворяет условиям теоремы 8.6.1, и поэтому обладает кодовым расстоянием, равным. Длина указанного кода составляет–ичных (не двоичных) символов, а поскольку степень порождающего полинома в точности равна, то число информационных символов (не двоичных, а–ичных), и значит,. С другой стороны, согласно границе Синглтона (6.8), откуда следует точное равенство между кодовым расстояниеми, следовательно РС–коды характеризуются следующими параметрами

,

причем на величину накладывается единственное ограничение: увеличениена единицу приводит к уменьшениюна ту же величину.

Опираясь на достижимость границы Синглтона, РС–коды являются оптимальнымис точки зрения величины кодового расстояния среди всех–ичных кодов с аналогичными значениями длины и скорости.

Очевидно, что любой –ичный () символ может быть представлен в виде двоичного блока размерности. Тогда, придерживаясь указанной замены всех символов произвольного РС–кода, получим двоичный код длиныс числом информационных двоичных символови скоростью. Однако, подобное преобразование не приводит к увеличению кодового расстояния, поскольку двоичный код, как и ранее, имеет, и среди двоичных кодов подобный код не считается хорошим с точки зрения исправления случайных ошибок. Вместе с тем он вполне эффективен в борьбе с т.н. «пакетами ошибок»: если подобный пакет изменитпоследовательных–ичных символа, то он повредит враз большее число двоичных. Однако благодаря своей исправляющей способности РС–код может исправить любую ошибку кратности довключительно, а значит, его двоичный эквивалент способен исправлять любой пакет ошибок длиной додвоичных символов.

Пример 8.8.1.Найдем порождающий многочлен РС–кода длины, исправляющего все ошибки кратности до трех включительно. Расширенное поле, необходимое для нахождения, построено в примере 8.2.6 на основе полинома. Требование исправления кодом любых трехкратных ошибок влечет за собой, что, а значит, порождающий полином может быть записан в виде

,

где – примитивный элемент поля.

Тогда

.

Таким образом, построенный порождает (15,9) РС–код.

Задавая код в не систематическом виде, произвольный кодовый многочлен может быть записан как , где– информационный многочлен степени не выше. Тогда, например, приполучим

.

Данному кодовому многочлену отвечает вектор

,

компоненты которого представляют собой 4–х разрядные двоичные числа

.