Раздел VII. Формальное определение абстрактной системы

Существуют три основные причины, вызывающие необходимость абстрактной математической формализации многоуровневых систем.

1. Строгость. При такой формализации мы отвлекаемся от физической реализации систем. Используемый аппарат опирается лишь на структурные свойства систем и поэтому применим практически без ограничений ко всем возможным объектам, обладающим сходной структурой.

2. Математическая теория. Формальные понятия обеспечивают основу для более детального математического изучения иерархических систем, так как позволяют при необходимости вводить и более сложные математические построения.

3. Исследования структуры. Наш абстрактный математический подход является, тем не менее, содержательным, поскольку он позволяет выделить наиболее важные структурные особенности реальных систем. При непосредственном переходе от интуитивных понятий к сложным и детализированным математическим формулировкам (например, к системам, описываемым линейными дифференциальными уравнениями) неизбежно возникают вопросы: насколько те или иные частные выводы зависят от специфики математической модели, на основании которой они были получены? Как можно обобщить результаты? В каком направлении эти результаты следует обобщать? При исследовании той или иной проблемы методами общей теории систем ответ на вопрос, насколько общими являются полученные выводы, однозначно дается математической структурой, используемой для формализации и анализа проблемы.

Выбор “подходящего” уровня абстракции зависит до некоторой степени от планируемых применений, от точки зрения и даже от вкусов исследователя. Однако выбор высокого уровня абстракции имеет существенные преимущества.

Примером, демонстрирующим преимущества общего подхода, служит исследование изменений характеристик нижестоящего уровня с помощью операторов оценки эффекта внутриуровневого взаимодействия, которые обычно приводят к нелинейностям.

Роль математической теории абстрактных систем в методологии системотехники схематически показана на рис. 7.1. Вербальное описание системы позволяет построить ее блок-схему, показывающую взаимодействие подсистем, а также связи между ними. Блок-схему вместе с сопровождающим ее описанием можно затем формализовать и получить модель в виде абстрактной системы. Для такой модели уже легко построить математическое описание и изучать поведение системы аналитически или на ЭВМ. Здесь мы не будем детально рассматривать общую теорию систем, а введем только те понятия, которые нам понадобятся далее в настоящей работе.

Рисунок 7.1. Основные этапы формулирования и анализа задач.

Тема 7.1. Формальное определение абстрактной системы

Введем, прежде всего, следующие исходные понятия:

1. Системой (абстрактной) S называется отношение над абстрактными множествами Х и У:

2. Если S — функция, S: Х -> У, мы будем называть систему функциональной.

Для простоты мы будем писать просто “система” без указания на то, является ли она функциональной, когда это свойство несущественно или когда оно вытекает из контекста.

Входящие в определение системы множества Х и У характеризуют входные и выходные объекты и называются соответственно входным и выходным множествами, а их элементы — входами и выходами. Таким образом, представление системы в виде отношения есть представление в форме “вход — выход”. Входы функциональной системы могут рассматриваться как причины, а выходы как следствия; в этом случае входное и выходное множества мы будем иногда называть множествами причин и следствий (объектами-причинами и объектами-следствиями). Эта терминология относится к моделированию явлений, содержащих причинно-следственные связи. Если система описывается отношением, а не однозначной функцией, причиной служит пара “вход — начальное состояние”. В дальнейшем мы не будем, как правило, использовать отношения, а ограничимся рассмотрением функциональных подсистем даже при развитии общей теории. Мы будем употреблять термин “множество входных сигналов”, а не “множество причин”, подразумевая, что в рассматриваемой системе начальное состояние задано. Это едва ли ограничит общность результатов; в то же время использование функций вместо соответствующих отношений значительно упрощает рассуждения. Избегая длительного обсуждения вопроса о том, почему вводится именно такое понятие системы, мы приведем несколько примеров, показывающих, каким образом это понятие охватывает различные специальные случаи.

Рассмотрим разностное уравнение

(1)

описывающее некоторые наблюдения, которые проводятся в дискретные моменты времени Т = {1, 2. .... п}. Для заданного начального условия y₀=  каждому набору из п чисел х = (x₁,..., x_n)  R_n соответствует единственный набор у = (y₁, .... y_n)  R_n, который удовлетворяет уравнению (1) для каждого k = 1, .... п. Таким образом, определено отображение S_: Rⁿ->Rⁿ, такое, что для всех х из Rⁿ-образ у = S_ (x) является единственным решением уравнения (1) при заданном начальном условии у₀= . Если допустимые начальные условия образуют множество Y₀  R, мы получаем отношение S  Rⁿ * Rⁿ, причем S =  S_. Таким образом, приведенное выше уравнение описывает и общем случае систему S  Rⁿ* Rⁿ и, в частности, определяет функциональную систему S_, когда задано начальное условие y₀=.

Рассмотрим автомат для продажи кока-колы, и который можно опускать пяти- и десятицентовые монеты, причем стакан кока-колы стоит пятнадцать центов и автомат, когда это требуется, выдает сдачу. Введем следующие множества:

А = {5, 10} — множество монет, которые принимает автомат;

B₁={, кока-кола}, где  означает “кока-колы на выходе нет”;

B₂={0, 5} - множество монет, которыми автомат выдаст сдачу.

Тогда множество выходов представляется декартовым произведением B=B1 * B2.

Введем также множество Q = {q₀, q₁, q₂}— множество “состояний” автомата. Теперь функцию переходов f: А* Q->Q и функцию выходов h: А* Q —> В можно задать следующей таблицей:

Таблица 7.1

Рассмотрим случай, когда в автомат опускают подряд п монет. Пусть A_n и B_n обозначают множества наборов длины п из элементов множества А и В соответственно. Тогда легко видеть, что для заданного начального состояния q = q_i каждому х  А_n соответствует единственный элемент у B_n. Другими словами. мы определили отображение Sq: А_n -> B_n, такое, что для всех х из A_n образ у = S_q (х) является однозначно определенным выходом, зависящим от х и начального состояния q = q_i. Таким образом, данный автомат представляется системой S  A_n* В_n, такой, что S=  S_q. Иногда мы можем получить стакан кока-колы за пять или десять центов, но если автомат исправен, его начальным состоянием является q₀ и, следовательно, данный автомат может рассматриваться как функциональная система Sq, где q=q₀

Рассмотрим простую динамическую систему:

Обозначим коэффициент упругости невесомой пружины через k, смещение тела массы т из положения равновесия в момент времени t — через у'' (t), а внешнюю силу, действующую на тело в момент времени t, через х (t). Предположим, что трение отсутствует. Тогда связь между х (t} и у (t) задается следующим дифференциальным уравнением:

my'' (t) = x(t) - ky(t) (2)

Предположим, что мы наблюдаем х (t) и у (t) в интервале времени Т= [0, ). Пусть Х — множество всех интегрируемых вещественных функций, определенных на Т, а Y — множество всех вещественных функций на Т. Тогда для заданных начальных условий  = (у (0), у' (0)) каждому х  Х соответствует единственным образом определённое у  Y, такое, что для каждого t  T

где w= (k/m)^1/2. Таким образом, это уравнение описывает однозначное отображение S_: Х —> У.

Если множеством допустимых начальных условий является A R * R, то данная система представляется отношением

Рассмотрим одномерную задачу теплопроводности, соответствующую помещенному ниже рисунку:

В общем случае, если в пластине имеются источники тепла, функция распределения температуры  (t, u) задается следующим уравнением в частных производных:

где z (t, и) описывает источники тепла внутри пластины, а a и b — константы; ради простоты мы примем, однако, что z  0. Предположим также, что функция  (0, и) = f (и) задана на отрезке [0, ], а тепловой источник с температурой х° С начинает действовать у левого конца пластины в момент времени t=0. Пусть Y — множество всех вещественных функций, определенных на [0, ) * [0, ]. Если для начального распределения температуры f существует разложение в ряд Фурье, то для заданного распределения f каждому х  R соответствует единственное   Y. Например, когда f = 0,

Эта зависимость представляет собой отображение S_f: R -> Y, где f — заданное начальное распределение. Обозначим через F множество вещественных функций, определенных па [0, ], для которых существует разложение Фурье. Тогда отношение

описывает данную физическую систему.