3.2.4. Неравенства с модулем

Основные способы решений неравенств с модулем во многом совпадают с методами решения аналогичных уравнений. Единственное отличие, пожалуй, связано с тем, что, решая неравенства с модулем (как, впрочем, и неравенства вообще), нужно очень внимательно совершать равносильные переходы и следить не только за тем, чтобы не приобрести новые решения, но и за тем, чтобы не потерять уже имеющиеся.

Стандартный путь решения неравенств с модулем заключается в том, что координатная прямая разбивается на промежутки (границами этих промежутков являются нули подмодульных выражений), а затем неравенство решается на каждом из промежутков.

Этот метод работает всегда. Правда, в отдельных случаях может быть затруднена его техническая реализация, например, очень тяжело или невозможно найти корни подмодульных выражений и пр. Однако, это сложности иного плана. Нужно понимать, что раскрытие модуля по определению неизменно приводит к цели. Конечно же, этот метод не является оптимальным: в условиях конкурсного экзамена важен не только результат, но и то время, которое потрачено на его получение.

Рассмотрим методы, не связанные с поиском нулей функций, стоящих под знаком модуля.

Рассмотрим неравенство Очевидно, что те x, для которых g (x) < 0, не являются решениями. Значит, если x является решением, то для него g (x) ≥ 0, и согласно геометрическому смыслу модуля, как расстоянию на координатной оси, данное неравенство равносильно системе Таким образом, имеем

Аналогично можно рассмотреть неравенство Неравенство выполнено для тех x, для которых g (x) < 0 и функции f (x) и g (x) определены. Для тех x, для которых g (x) ≥ 0, имеем равносильную совокупность

Заметим, что последняя совокупность является равносильной нашему неравенству и при g (x) ≤ 0. В этом можно непосредственно убедиться, учтя g (x) ≤ 0 и вспомнив определение знака совокупности.

Пример 1

Решите неравенство

Решение

Перейдём к равносильной совокупности.

Ответ. 

Как видно, в простых случаях особых преимуществ метод перехода к равносильной системе не имеет, но иногда его преимущества весьма заметны.

Пример 2

Решите неравенство

Решение

Как видно, найти значения x, при которых подмодульное выражение обращается в нуль, чрезвычайно затруднительно. Однако переход к равносильной системе значительно упрощает дело. Имеем:

Ответ. 

3.2.5. Тригонометрические неравенства

При решении тригонометрических неравенств вида f (x) ≥ 0, где f (x) − одна из тригонометрических функций, удобно использовать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и записать ответ. Основным методом решения тригонометрических неравенств является сведение их к простейшим неравенствам типа Разберём на примере, как решать такие неравенства.

Пример 1

Решите неравенство

Решение

Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит

Для x   [0; 2π]  решением данного неравенства будут Ясно также, что если некоторое число x будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на 2πn,  то sin x также будет не меньше Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить 2πn, где Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все где

Ответ.  где

Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые x = 1 и y = 1 соответственно, касающиеся тригонометрической окружности.

Рисунок 3.2.5.1

Легко заметить, что если построить луч с началом в начале координат, составляющий угол α с положительным направлением оси абсцисс, то длина отрезка от точки (1; 0) до точки пересечения этого луча с линией тангенсов в точности равна тангенсу угла, который составляет этот луч с осью абсцисс. Аналогичное наблюдение имеет место и для котангенса.

Пример 2

Решите неравенство

Решение

Обозначим тогда неравенство примет вид простейшего: tg t ≥ –1. Рассмотрим интервал длиной, равной наименьшему положительному периоду (НПП) тангенса. На этом отрезке с помощью линии тангенсов устанавливаем, что Вспоминаем теперь, что необходимо добавить πn, где поскольку НПП функции tg x T = π. Итак, Возвращаясь к переменной x, получаем, что

Ответ. 

Неравенства с обратными тригонометрическими функциями удобно решать с использованием графиков обратных тригонометрических функций. Покажем, как это делается на примере.

Пример 3

Решите неравенство

Решение

Нарисуем график функции y = arctg x. Найдём точку пересечения этого графика с горизонтальной прямой Это точка с абсциссой По графику видно, что для всех график функции лежит ниже прямой Следовательно, эти x и составляют:

Ответ.