Аннотированные вопросы к экзамену по геометрии

2-й семестр, МИ

Элементы векторной алгебры.

Аффинная и прямоугольная декартова системы координат

на плоскости и в пространстве

1. Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства.

Дать определения направленного отрезка (ввести обозначение), вектора (ввести обозначение), нулевого вектора (ввести обозначение); сонаправленных, противоположно направленных, коллинеарных векторов. Какой вектор считается коллинеарным любому вектору? Дать определение компланарных векторов. Дать определения единичного вектора, равных векторов, противоположных векторов. Как обозначается вектор, противоположный вектору ? Дать определение откладывания вектора от точки А. Сформулировать алгоритм откладывания вектора от точки, сделать чертёж. Дать определение линейных операций над векторами. Сформулировать правило треугольника, сделать чертёж, записать правило треугольника в буквенном виде. Сформулировать правило параллелограмма, сделать чертёж. Какие векторы нельзя складывать по правилу параллелограмма? Сформулировать свойства 1º−4º сложения векторов. Дать определение суммы трёх векторов , и , суммы n векторов , , …, , . Сформулировать правило многоугольника, Сделать чертёж. Дать определение разности векторов и . Сформулировать правило построения разности двух векторов, сделать чертёж. Записать в буквенном виде правило нахождения разности векторов. Дать определение произведения вектора на действительное число . Сформулировать алгоритм построения произведения вектора на число . Продемонстрировать его на конкретном примере, сделать чертёж. Сформулировать свойства 1º−4º умножения вектора на число. Сформулировать теорему 1 о коллинеарных векторах теорему 2 о компланарных векторах.

2. Понятие линейно зависимой и линейно независимой систем векторов. Свойства линейно зависимой системы векторов.

Дать определение линейной комбинации векторов , , …, , привести примеры. Дать определения линейно зависимой и линейно независимой систем векторов, привести примеры. Сформулировать и доказать свойства 1º−7º линейно зависимой системы векторов.

3. Базис векторного пространства. Координаты вектора и их свойства.

Дать определение векторного пространства V. Дать определения линейно независимой системы векторов, базиса векторного пространства, размерности векторного пространства. Сформулировать теоремы 1 и 2 о базисе векторного пространства V и сделать вывод о размерности векторного пространства V. Обозначение базиса, состоящего из векторов , и . Как называются векторы , и ? Сделать чертёж базиса трёхмерного векторного пространства. Дать определение координат вектора в данном базисе , , , обозначение. Сформулировать свойства 1º−5º координат векторов, следствия 1, 2 из свойства 3º. Доказать свойства 1º−3º и следствия 1, 2. Дать определение ортонормированного базиса , , , сделать чертёж. Дать понятие двумерного векторного пространства, сделать чертёж его ортонормированного базиса.

4. Понятие угла между векторами. Скалярное произведение двух векторов, его свойства, вычисление и приложения в геометрии и физике.

Дать определение угла между векторами, сделать чертеж. Указать пределы изменения угла между векторами. Дать определения скалярного произведения двух векторов и скалярного квадрата вектора . Сформулировать и доказать геометрические свойства Г и Г скалярного умножения и следствие из свойства Г . Ввести понятие проекции (скалярной) вектора на направление, определяемое вектором , сделать чертёж. Сформулировать геометрическое свойство Г3º. Сформулировать алгебраические свойства А – А и следствие из свойства А . Сформулировать и доказать теорему о вычислении скалярного произведения двух векторов, заданных координатами. Сформулировать следствия (применение скалярного произведения в геометрии). Доказать с помощью скалярного произведения теорему косинусов. Применение скалярного произведения в физике.