19. Различные уравнения прямой в пространстве.

Перечислить геометрические способы задания прямой в пространстве. Сделав соответствующие чертежи, вывести различные уравнения прямой в аффинной системе координат (канонические уравнения прямой и их частные случаи; уравнения прямой, заданной двумя точками; параметрические уравнения прямой; уравнения прямой, заданной двумя пересекающимися плоскостями). В каждом случае пояснить геометрический смысл всех входящих в уравнения букв. Сформулировать и доказать лемму о координатах направляющего вектора прямой, заданной двумя пересекающимися плоскостями.

20. Основные аффинные задачи на прямые и плоскости.

Вывести условия для определения взаимного расположения двух прямых в пространстве, сделать 4 соответствующих чертежа. Сформулировать и доказать лемму о параллельности вектора и плоскости. Вывести условия для определения взаимного расположения прямой и плоскости, пользуясь этой леммой; сделать 3 соответствующих чертежа. Дать определение связки прямых и плоскостей.

21. Основные метрические задачи на прямые и плоскости в пространстве.

Дать определения угла между пересекающимися и между скрещивающимися прямыми в пространстве, сделать чертежи. Вывести формулу для вычисления косинуса угла между прямыми в пространстве. Сформулировать условие перпендикулярности двух прямых в пространстве. Дать определение угла между прямой и плоскостью, сделать чертёж. Вывести формулу для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью, сделав необходимые чертежи. Сформулировать условие перпендикулярности прямой и плоскости, сделав чертёж.

Линии второго порядка

22. Эллипс, его каноническое уравнение.

Дать определение эллипса, его фокусов, фокального расстояния, фокальных радиусов точки М эллипса. Выбрать каноническую систему координат, сделать её чертёж и вывести в этой системе каноническое уравнение эллипса, доказав два утверждения: а) если точка М принадлежит эллипсу, то её координаты удовлетворяют уравнению ; б) если координаты точки М удовлетворяют уравнению , то М принадлежит эллипсу.

23. Эллипс, его геометрические свойства и изображение.

Дать определение эллипса, его фокусов и записать каноническое уравнение эллипса. Сформулировать и доказать геометрические свойства эллипса, пользуясь каноническим уравнением. Дать определения эксцентриситета и директрис эллипса, написать уравнения директрис. Выполнить чертёж эллипса, его фокусов и директрис.

24. Гипербола, её каноническое уравнение.

Дать определение гиперболы, её фокусов, фокального расстояния, фокальных радиусов точки М гиперболы. Выбрать каноническую систему координат, сделать её чертёж и вывести в этой системе каноническое уравнение эллипса, доказав два утверждения: а) если точка М принадлежит гиперболе, то её координаты удовлетворяют уравнению ; б) если координаты точки М удовлетворяют уравнению , то М принадлежит гиперболе.

25. Гипербола, её геометрические свойства и изображение.

Дать определение гиперболы, её фокусов и записать каноническое уравнение гиперболы. Сформулировать и доказать геометрические свойства гиперболы, пользуясь каноническим уравнением. Дать понятие асимптот гиперболы, записать их уравнения. Дать определения эксцентриситета и директрис гиперболы, записать уравнения директрис. Выполнить чертёж гиперболы, её фокусов и директрис. Понятие гиперболы, сопряжённой данной.