5. Понятие об ориентации векторного пространства. Векторное произведение двух векторов, его свойства, вычисление и приложения в геометрии и физике.

Дать определения правого и левого базиса векторного пространства, сделать чертеж. Дать определения одинаково (противоположно) ориентированных базисов, левой (правой) ориентации векторного пространства. Понятие ориентированного пространства. Дать определение векторного произведения двух неколлинеарных, коллинеарных векторов. Сделать чертеж для векторного произведения неколлинеарных векторов. Сформулировать и доказать геометрические свойства Г и Г . Сформулировать алгебраические свойства А и А векторного умножения векторов и замечание. Сформулировать и доказать теорему о вычислении координат векторного произведения двух векторов. Рассмотреть приложения векторного произведения в геометрии (условие коллинеарности двух векторов; вычисление площади параллелограмма и треугольника (сделать чертежи, записать формулы)). Приложение векторного произведения в физике.

6. Смешанное произведение трех векторов, его свойства, вычисление и приложения в геометрии.

Дать определение смешанного (скалярно-векторного) произведения трех векторов, взятых в указанном порядке, обозначение. Сформулировать геометрические свойства Г и Г и алгебраические свойства А – А смешанного умножения трех векторов. Доказать свойство Г1º и и свойство А2º или А3º (на выбор). Сформулировать и доказать теорему о вычислении смешанного произведения трех векторов, заданных координатами. Рассмотреть приложения смешанного произведения в геометрии (условие коллинеарности трех векторов; вычисление объема параллелепипеда, треугольной призмы, треугольной пирамиды (тетраэдра) (сделать чертежи, записать формулы)).

7. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат в пространстве и на плоскости. Основные аффинные и метрические задачи.

Дать определения аффинной системы координат О, , , в пространстве, начала координат, координатных векторов, осей координат. Сделать чертеж. Дать определение радиус-вектора точки М относительно точки О. Дать определение координат точки М в системе координат О, , , . Рассмотреть особенности расположения точки относительно аффинной системы координат, если некоторые её координаты являются нулевыми. Пояснить, что такое координатная ломаная точки М, сделать чертёж. Дать определение прямоугольной декартовой системы координат О, , , . Сделать чертеж. Сделать замечание об аффинной и прямоугольной декартовой системе координат на плоскости, сделать чертежи. Пояснить, какая задача называется метрической, а какая – аффинной. Рассмотреть основные аффинные задачи: 1) координаты вектора, заданного двумя точками (сформулировать теорему 1, сделать чертёж, вывести формулу); 2) деление отрезка в данном отношении в координатах (дать определение деления отрезка в данном отношении, сформулировать теорему 2, сделать чертеж, вывести формулы для вычисления координат точки, делящей направленный отрезок в отношении , ). Координаты середины отрезка. Рассмотреть основную метрическую задачу: расстояние между двумя точками в координатах (сформулировать теорему 3, сделать чертеж, вывести формулу).