Теорема Крамера

Если определитель основной матрицы системы не равен “0”, то система определена, т.е. имеет единственное верное решение которое может найдено по формулам.

(7)

Замечание:

Из формулы (6) следует также, если определитель основной матрицы системы равен «0», но если хотя бы один из вспомогательных определителей Δ₁(В)_, Δ₂(В), … , Δ_n (В) не равен «0», то система несовместна.

Теорема Гамельтон-Кэлли

Пусть рассматривается матрица порядка n. А (lR) – хар. многочленом матрицы А называют многочлен от Р_Аλ = det (A –λЕn)

ЗАМЕЧАНИЕ: Не трудно видеть, что характеристический многочлен для матрицы n–го порядка есть многочлен степени n.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пусть задан многочлен

Р(λ) =Р₀+Р₁λ + Р₂λ² + … + Р_nλⁿ

A (|R)

Назовем многочленом от матрицы следующую матрицу: P(A) = + A + + … + .

Мы будем говорить, что многочлен Р(λ) аннулирует матрицу А, если Р(А) – окажется нулём.

ТЕОРЕМА:

Характеристический многочлен аннулирует матрицу по которой он построен.