- •Министерство образования рф
- •§1.2. Матрицы и линейные операции над ними.
- •Глава XII. Числовые и функциональные ряды. § 12.1. Числовые ряды.
- •§ 12.2. Функциональные ряды.
- •Глава XIII. Аналитическая геометрия. § 13.1. Аналитическая геометрия на плоскости.
- •§ 13.2. Аналитическая геометрия в пространстве.
- •Глава XIV. Теория вероятностей. § 14.1. Случайные события.
- •§ 14.2. Случайные величины.
- •Глава XV. Математическая статистика.
Глава XII. Числовые и функциональные ряды. § 12.1. Числовые ряды.
Выражение вида:
, где
называется числовым рядом. Если , то ряд называется знакопеременным.
Сумма первых членов ряда называется частичной суммой:.
Ряд называется сходящимся, если существует , в противном случае – расходящимся. Ряды чаще всего исследуются на сходимость с помощью признаков сходимости.
Для знакопеременных рядов наиболее применимы следующие:
необходимый признак сходимости ряда:
если , то ряд расходится, при– ответ дать нельзя;
2. признак Даламбера:
3. признаки сравнения;
4. признак Коши: Если сходится, то и ряд сходится; если интеграл расходится, то и ряд расходится. Функциястроится по формуле– общего члена ряда:
,, … ,, …
Замечание:1. Ряд виданазывается гармоническим. Приряд сходится, при– расходится.
2. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии сходится при, и расходится, если.
§ 12.2. Функциональные ряды.
Ряд Тейлора для функции :
Глава XIII. Аналитическая геометрия. § 13.1. Аналитическая геометрия на плоскости.
Любая линия на плоскости задается уравнением . Для нахождения точек пересечения её с осью Ох надо решить уравнение, аналогично с осью Оу:. Если какое-либо из уравнений решений не имеет, то точек пересечения с соответствующей осью нет.
Для нахождения точек пересечения двух линий инеобходимо решить систему из уравнений, т.е.
Универсальным способом задания прямой на плоскости является общее уравнение прямой на плоскости: , где, одновременно не обращаются в ноль. Для описания не вертикальных прямых часто используется уравнение прямой с угловым коэффициентом:,. Если две прямые заданы уравнениями в этой форме, т.е.и, то они параллельны, если, и перпендикулярны при.
Любое алгебраическое уравнение второй степени относительно иописывает на плоскости кривую второго порядка.
К основным из них относятся:
окружность: ,
эллипс: ,
гипербола: ,или развернутая, когда асимптотами являются оси координат:,
парабола: или,.
§ 13.2. Аналитическая геометрия в пространстве.
Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору:
.
Уравнение плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно вектору:
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки ,и, не лежащие на одной прямой:
Уравнения координатных плоскостей:
плоскость XOY~ ; плоскостьXOZ~ ; плоскостьYOZ~.
Глава XIV. Теория вероятностей. § 14.1. Случайные события.
Классическое определение вероятности:
Вероятностью события называется отношения числа благоприятных исходов событиюк общему числу равновозможных событий, образующих полную группу, т.е.
, при этом очевидно:.
События называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого.
События называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не влияет на вероятность наступления другого.
Теоремы сложения и умножения вероятностей:
– для независимых событийи.
– для зависимых событийи.
– для несовместных событийи.
– для совместных событийи.
§ 14.2. Случайные величины.
Полной характеристикой случайной величины является её функция распределения. Для дискретной случайной величины более удобной формой задания является ряд распределения:
– возможные значения случайной величины;
– вероятность того, что случайная величинапримет значение
В ряде задач бывает достаточно иметь не полную информацию о случайной величине, а только её основные числовые характеристики:
– математическое ожидание;– дисперсия;– среднеквадратическое отклонение.
Формулы для вычисления:
Для непрерывной случайной величины эти характеристики определяются через функцию плотности распределения
;
Для равномерно распределённой случайной величины функция плотности распределения имеет вид:
Для нормально распределённой случайной величины числовые характеристики являются параметрами плотности распределения:
;,
Для случайной величины распределенной по показательному закону (Пуассона):
;.
Свойства числовых характеристик:
1. ,1.,
2. 2.
3. 3.
независимы