§11. Ряды Фурье.
Далее мы будем рассматривать глобальное разложение, то естьна конечном отрезке[a,b].
Определение. Понятие ортогонольных и нормированных систем ф-ий:
(х), (х) интегрируемые при х[a,b], тогда (*) -cкалярное произведение.
для (*) вып-ся аксиомы ск-го произведения:
А.1 (,)=(,)
А.2 (,)=(,)=(,),=const
А.3 (,1+2)=(,1)+(,2)
Определение:Функцииина[a,b]ортогональны если (,)=0, т.е. (х)(х)dx=0.
Определение. Понятие нормированности:=- норма (длина вектора).
Докажем, что норма обладает всеми св-вами длины:
=[2(x)dx]0.5
A.1 0, =0 0
A.2 =, R1
A.3 1+2=1+2
Определения:Если для системы функций1,2,...,nвведено понятие нормы, то такая система наз-ся нормированной. Если норма каждого элемента пространства равна 1, то наз-ся нормированной на 1. Если система функций попарно ортогональна и нормированная на 1, то такая система наз-ся ортонормированной: ОН - ортонормированная система, если
; ОН
Пример:приx[-,]
{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,
cosnx,sinnx}.
. Аналогично sin(nx)sin(mx)dx=0;sin(nx)cos(mx)dx=0. Найдем норму:cosnx=
. Аналогичноsin(nx)=.Получаем ОН систему:
Ряд Фурье. Коэфициенты Фурье по ОН системе.
{1(x),2(x),...,n(x)} - ОН система, т.е. .f(x)=fnn(x) - ряд Фурье, гдеfn - коэфициенты. Умножим обе части этого уравнения наm(x)и проинтегрируем:
f(x)m(x)dx==m(x) fnn(x)dx=fnm(x)n(x)dx=0 - когдаmn. Когдаm=n:
=fn(n,n)=fn=f(x)n(x)dx f(x) (f,n)n(x)
Ряд Фурье для тригонометрических функций.
, f(x) (ancos(nx)+bnsin(nx))(4)
где an=f(x)cos(nx)dx,bn=f(x)sin(nx)dx, n=0,1,2,...
Определение:Функция наз-ся кусочно-непрерывной на данном отрезке, если этот отрезок можно разбить на конечное число интегралов, в каждом из которых функция непрерывна.
Т-ма Дирихле:Пустьf(x)
1)определена для всех х[-,]
2)кусочно-непрерывная на[-,]
3)кусочно-монотонная на[-,]
4)ограничена на [-,], тогда она разложима в тригонометрический ряд Фурье (4). Если точка х[-,]и в этой точкиf(x)непрерывна, то сумма ряда
S(x)=(ancos(nx)+bnsin(nx))=f(x). Если точка х - точка разрыва, скачок, тоS(x)=1/2 [f(x-0)+f(x+0)]
S(-)=S()=1/2 [f(+0)+f(-0)]
Замечания:1)поведение функцииfза пределами[-,]может в корне отличаться от значенияS.
2)если мы хотим разложитьfна всей действительной оси, то соглас- но (4) мы должны продол- жить пе- риодическим образом с периодом 2.
Пример:f(x)=x, x[-,]
a0=xdx=0
Разложение функций в тригонометрические ряды на произвольном промежутке.
Часто возникает задача разложения функций в тригонометрический ряд на произвольном промежутке
y[a,b] (a,b < ,a < b)
x=y+; [-,] переходит в[a,b].
,m, f(y+)=f*(y); dx=dy, an=f*(y)cosn(y+)dy
bn=f*(y)sinn(y+)dy, f*(y)=+(ancosn(y+)+bnsinn(y+))
Разложив cos и sin по формулам:
f*(y)=+(a*ncosny+b*nsinny), где нужно вычислитьa*n , b*n и a*0 .
Примеры:1) a=0, b=L >0
x=
a= - L, b= L
x=
Разложение четных функций в тригонометрический ряд.
f(x)=f(-x) , xR1
an=f(x)cosnxdx=f(x)cosnxdx
bn=0
f(x)= +ancosnx - разложение по косинусам.
Разложение нечетных функций в тригонометрический ряд.
f(x)= - f(-x); a0=0, an=0
f(x)= bnsinnx
bn=f(x)sinnxdx
- разложение по синусам.
Примеры:1)f(x)=x
a0=1dx=2; an=1cosnxdx=0
f(x)= =1
2) Функция
bn=1sinnxdx=
Разложение функций в ряд по синусам в несимметричном промежутке (0, L).
f(x) , x[0, L]. Доопределим функцию на промежутке[-L,0] (нечетным образом)
В ряд по синусам.
f(x)= bnsin, где
bn=f(x)sindx
В ряд по косинусам (четным образом).
f(x)= +ancos, где
an=f(x)cosdx
Пример:по синусам
f(x)=x, x[0,1], L=1