Множество – это совокупность элементов, понимаемых как единое целое (объединенных по некоторому признаку)

Множество X называется ограниченным, если существует число m такое, что для всех x  X x m

Если x  m – ограничено сверху, x  -m – ограничено снизу

Верхней гранью множества X называется supp X такое, что  x  X x  supp X и    0  x0  X x0  supp X - 

Нижней гранью множества X называется inf X такое, что  x  X x  inf X и    0  x0  X x0  inf X + 

Точка A называется предельной точкой для множества X, если в любой ее проколотой окрестности существуют точки из множества X.

Любой интервал, содержащий точку x0, называется окрестностью точки x0.

Число a называется пределом последовательности Xn, если    0  такой номер N = N (),  n  N Xn - a 

Теорема. Если предел существует, то он единственный.

Теорема. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство.

lim (n) Xn = a       N  n  N Xn - a 

Пусть  = 1

M = max {X1, X2, ..., Xn, a + 1}  Xn  M  n.

m = min {X1, X2, ..., Xn, a - 1}  Xn  m  n.

Теорема. Если {Xn} монотонно возрастает, т.е. Xn+1  Xn  n и ограничена сверху, то она имеет предел. Если {Xn} монотонно убывает, т.е. Xn+1  Xn  n и ограничена снизу, то она имеет предел.

Доказательство. Xn убывает, Xn+1  Xn  n  m m  Xn

Пусть m = inf {Xn}  1.  n m  Xn 2.    0  N XN  m + 

lim (n) Xn = m     0  N  n  N m  Xn  XN  m +   m -   Xn  m + .

Теорема о предельном переходе в неравенствах. Пусть lim (n) Xn = a и lim (n) Yn = b и пусть  n Xn  Yn, тогда a  b.

Доказательство. Пусть a  b,  = (a - b)/2  0.

     N1  n  N1 b -   Yn  b + 

     N2  n  N2 a -   Xn  a + 

Пусть n  max {N1;N2}

a -   Xn  Yn  b + 

a/2 + b/2  a/2 + b/2 (противоречие)

Теорема о вложенных отрезках. Пусть есть система вложенных отрезков [a1;b1]  [a2;b2]  ...  [an;bn] ... Тогда существует точка C, принадлежащая всем отрезкам.

Доказательство. Последовательность a1, a2, ..., an убывает и  n an  b1, т.е. она имеет предел lim (n) an = a.

Последовательность {bn} возрастает и bn  a1, т.е. она имеет предел lim (n) bn = b.

lim (n) (an - bn) = 0 = b – a, т.е. a = b

C = a = b

 n an  C  bn, т.е. C принадлежит всем отрезкам.

Пусть даны два множества D и G. Если каждому элементу множества D ставится в соответствие единственный элемент множества G, то говорят, что задана функция f: D  G.

Если D = R и G = R, то функция числовая, если D = N и G = R, то функция последовательность.

Все функции, задаваемые с помощью знаков +, -, * и операцией взятия сложной функции от элементарных называются элементарными функциями.

Предел функции. По Коши: Число a называется пределом функции f (x) при xx0     0    0  x 0  x – x0   f (x) - a .

По Гейне: Число a называется пределом функции f (x) при xx0   {Xn}x0  f (Xn)a (n).

Предел функции на бесконечности.

1. lim (xx0) f(x) = 

 E  0    0  x 0 x – x0   f(x) E ( для + f(x)  E, для - f(x)  -E)

2. lim (x) f(x) = a

   0    0  x x  (для + x  , для - x  -)

Односторонние пределы.

Число a называется пределом слева (lim (xx0 - 0) f(x) = a), если    0    0  x x0 -   x  x0  f(x) - a 

Число a называется пределом справа (lim (xx0 + 0) f(x) = a), если    0    0  x x0  x  x0 +   f(x) - a 

Теорема. Если lim (xx0) f(x) = a  , то функция ограничена в некоторой окрестности точки x0.

Доказательство.

Пусть  = 1, тогда  x 0 x - x0  a -   f(x)  a + 

Функция f(x) называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если предел в этой же точке равен 0.

Теорема. Сумма бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Доказательство. lim (xx0) (x) = 0, lim (xx0) (x) = 0

 /2  0  1  0  x 0 x – x0 1  (x) /2

 /2  2  0  x 0 x – x0 2  (x) /2

 x 0  x – x0  min (1,2)  (x) + (x)   lim (xx0) ((x) + (x)) = 0

Теорема. Если lim (xx0) f(x) = b  0, то функция 1/f(x) ограничена в некоторой окрестности точки x0.

Доказательство.

Пусть b  0, тогда   = b/2    x 0 x – x0   f(x) - b 

b – f(x) b - f(x)

b - f(x)  = b/2

f(x) b/2

1/f(x) 2/b

Теорема. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Пусть в окрестности точки x0 (x) M и lim (xx0) (x) = 0, тогда  /M  0    0 

x 0 x – x0  (x) /M

   0    0  x 0 x – x0  (x) - (x) /M * M  

Теорема. Пусть lim (xx0) f(x) = b  0 и (x)(xx0) 0, тогда (x)/f(x) бесконечно малая функция в окрестности точки x0.

Доказательство. 1/f(x) – ограниченная, *1/f(x) – бесконечно малая (по предыдущим теоремам).

Пусть lim (xx0) f(x) = a и lim (xx0) g(x) = b, тогда:

1. lim (xx0) (f(x)  g(x)) = a  b

2. lim (xx0) (f(x) * g(x)) = a * b

3. lim (xx0) (f(x)/g(x)) = a/b (при b  0)

Теоремы о предельном переходе в неравенствах.

Теорема 1. Если  x f(x)  g(x), то lim (xx0) f(x)  lim (xx0) g(x)

Теорема 2. Пусть  x из окрестности точки x0 (x)  f(x)  g(x) и lim (xx0) (x) = lim (xx0) g(x) = a, тогда lim (xx0) f(x) = a.

Сравнение бесконечно малых функций.

Функция (x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем (x) в окрестности точки x0, если lim (xx0) (x)/(x) = 0.

Если бесконечно малые функции (x) и (x) имеют предел lim (xx0) (x)/(x) = k  0  , то (x) и (x) называют сравнимыми или одного порядка малости.

Если k = 1, то (x) и (x) – эквивалентные бесконечно малые.

Теорема. Сумма бесконечно малых функций эквивалента бесконечно малой низшего порядка.

Доказательство. Пусть есть  +  +  и  - низшего порядка.

/0 и /0, xx0

lim (xx0)  +  + / = lim (xx0) / + / + 1 = 1

 +  +   

Функция f(x) называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если предел в этой точке равен  / lim (xx0) f(x) = a

Функция f(x) – бесконечно большая  1/f(x) – бесконечно малая.

Для любых функций (x) и (x) с условием, что lim (xx0) (x)/(x) = 0, пишут (x) = ((x)) и говорят (x) о-малое (x), (x) = ((x)) (x) О-большое (x).

Замечательные пределы.

1. lim (x0) (sin x / x) = 1

2. lim (x) (1 + 1/x)x = e = 2,7

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и lim (xx0) f(x) = f(x0)

Теорема. Если функция f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то непрерывна функция f(x)  g(x); f(x) * g(x); f(x)/g(x) (g(x)  0).

Точки разрыва.

1. Устранимый разрыв lim (xx0 + 0) f(x) = lim (xx0 - 0) f(x) + f(x0)

2. Разрыв первого рода – оба односторонних предела существуют,   и  между собой.

3. Разрыв второго рода – один из односторонних пределов не существует или равен .

Функция f(x) называется непрерывной на замкнутом отрезке [a; b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, а в точках a и b у нее существуют односторонние пределы.

M – максимальное значение функции f(x) на отрезке [a; b], если  x  [a; b] f(x)  M

m – минимальное значение функции f(x) на отрезке [a; b], если  x  [a; b] f(x)  m

Теорема 1. Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a; b], тогда она достигает свое наибольшее и наименьшее значение.

Теорема 2. Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a; b], тогда она принимает все значения между наибольшим и наименьшим значениями.

 m  C  M  x0  [a; b] f(x0) = C

Теорема 3. Пусть f(x) непрерывная на отрезке [a; b] принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, тогда существует точка C  [a; b] такая, что f(C) = 0.

Теорема 4. Если в окрестности точки x0 функция y(x) монотонна, то у нее существует обратная функция, которая непрерывна, если непрерывна функция y(x).

Производная.

Производной функции f(x1) называется lim (f(x1 + x) – f(x1)) / x = f ’(x1) = lim (x0) f / x, где x = x2 – x1 – приращение аргумента, f = f(x2) – f(x1) – приращение функции.

f / x = tg   tg 

Назовем линию L касательной к кривой y = f(x) в точке x0, если для любой секущей, проходящей через x0 и x1, секущая будет стремиться к L при x1x0.

tg  - tg угла наклона касательной к кривой в точке x1  k = tg  =

f ‘ (x1)

Правила дифференцирования.

1. (u  v)’ = u’  v’

2. (u * v)’ = u’v + uv’

3. (u/v)’ = u’v – uv’/v²

Уравнение касательной: y – f(x0) = f ‘ (x0)(x – x0)

Уравнение нормали: y – f(x0) = (- 1/f ‘ (x0))*(x-x0)

Производная сложной функции.

Пусть z = f(y) и y = (x)  z = f((x))

z’x = lim (x0) z/x = lim (x0) z/ * /x = z’y * ’x

z’x = z’y + ’x

Производная обратной функции. Если функция у = f(x) и x = g(y) обратные, то y’x = 1/g’y.

Доказательство.

lim (x0) y/x = lim (g0) y/g = lim (g0, y0) 1/ (g/y) = 1/ g’y

Таблица производных:

1. a˟ - a˟ lna

2. loga x – 1/xlna

3. ln x – 1/x

4. sin x – cos x

5. cos x - -sin x

6. sh x – ch x

7. ch x – sh x

8. tg x – 1/cos² x

9. ctg x - -1/sin² x

10. arcsin x – 1/1 - x²

11. arccos x - -1/1 - x²

12. arctg x – 1/1+ x²

13. arcctg x - -1/1+ x²

14. e˟ - e˟

Функция называется дифференцируемой в точке если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде

где.

Если приращение функции f = f(x) – f(x0) можно представить в виде A(x – x0) +(x – x0), то линейная часть A(x – x0) называется дифференциалом функции.