§6 Равномерная непрерывность

Функция f, определенная на Х называется равномерно непрерывной на Х, если

x,xX,|x-x|<:|f(x)-f(x)|<

Всякая равномерно непрерывная функция на Х непрерывна на Х.

Обратное неверно.

Теорема ( Кантор). Всякая непрерывная на [a,b] функция f равномерно непрерывна на [a,b].

Доказательство. От противного.

₀>0>0u,v [a,b],|u-v|<:|f(u)-f(u)|₀

=1/n u_n,v_n,| u_n-v_n|<1/n: |f(u_n)-f(v_n)|₀ (1)

По Т. Б-В тогда и. В силу непрерывности. Таким образом

, что противоречит (1).

Глава 4 Дифференциальное исчисление

§1 Производная

1. Определение. Геометрическая интерпретация. Необходимое условие дифференцируемости.

f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀.

x=x-x₀ – приращение аргумента

y= f =f(x)-f(x₀) – приращение функции

Опр. f(x₀)=

Обозначения

Лейбниц, f(x₀) Лагранж, (x) Ньютон, Df(x₀) Коши.

Аналогично определяются f(x₀+0), f(x₀-0).

Теорема. Для существования f(x₀) н. и д. существования обеих односторонних производных f(x₀+0), f(x₀-0)и их равенство.

Непосредственно следует из соответствующей теоремы для односторонних пределов.

Если f существует всюду на множестве Х, то мы получаем новую функцию f (x).

Определение. Функция f, определенная в окрестности точки x₀ называется дифференцируемой в точке x₀, если А:

f=f(x) - f(x₀)=A(x - x₀)+(x – x₀),xx₀

Теорема. Для существования f (x₀) необходимо и достаточно, чтобы f была дифференцируема в точке x₀.

Замечание. Отметим, что A= f (x₀).

Операция вычисления производной называется операцией дифференцирования.

Геометрическая интерпретация.

=arctg=arctg f(x₀), ,

. Сравнить с .

Уравнение касательной y - y₀= f (x₀)(x - x₀). Нормаль в точках, где касательная не горизонтальна: . Уравнение нормали в общем случае:

x - x₀ + f(x₀)(y - y₀)=0.

Теорема ( Необходимое условие дифференцируемости ) Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

2. Дифференциал функции

Линейная функция Ax=df(x₀)=f(x₀)x, dx=x, dy=Adx.

Геометрическая интерпретация дифференциала как приращения ординаты касательной.

3. Основные правила дифференцирования

   1. f=const, f=0, df=0

   2. f=u+v, f=u+v, df = du+dv

   3. f=uv, f=uv+vu, df = u dv + v du

Следствие. f=cg, f= c₁g₁+…+c_ng_n

4. f=u/v, v(x₀)0 и производная существует, то f=(uv-vu)/v².

5. Производная сложной функции.

Теорема. Если f(x₀),g(x₀),x₀=g(t₀), то в некоторой окрестности t₀  f(g(t₀)) и дифференцируема в точке t₀, и

Доказательство.

f(x)- f(x₀)=f(x₀)(x-x₀)+(x)(x-x₀),xU(x₀)

Можно считать (x₀)=0.

f(g(t))- f(g(t₀))= f(x₀)( g(t)- g(t₀))+( g(t))( g(t)- g(t₀))

:(t-t₀), tt₀.

6. Вычисление производной обратной функции.

Теорема. Пусть f непрерывна и строго монотонна на [a,b]. Пусть в точке x₀(a,b) существует f(x₀)0, тогда обратная функция x=f^-1(y) имеет а точке y₀ производную, равную

Доказательство. Считаем f монотонно возрастающей, тогда f ^-1(y) непрерывна, монотонно возрастает на [f(a),f(b)]. Положим y₀=f(x₀), y=f(x), x-x₀=x, y-y₀=y. В силу непрерывности y0x0, имеем

4. Производные элементарных функций

   1. f=const

   2. f(x)=x

   3. f(x)=e^x,

   4. f(x)=a^x,

   5. f(x)=ln x ,

Сл. (производная четной функции нечетна)

6)

7. (x^)=x^-1,x>0, x^=e^{ ln x}

8. (sin x)=cos x,

9. (cos x)=-sin x, (cos x)=(sin(x+/2))= cos(x+/2)=-sin x

10. (tg x)=1/cos²x

11. (ctg x)=-1/sin²x

12. 

7. 

8. 

9. 

10. sh x, ch x.

5. Логарифмическое дифференцирование

f(x),

Другой подход f(x)=e^{ln f(x)}, f=e^{ln f(x)})ln f(x))

Пример использования.

f=x^x

6. Функции заданные параметрически

Г.м. точек на плоскости

так же будем называть функцией, заданной параметрически.

Замечание 1. Если x,y непрерывны на [,] и x(t) строго монотонна на отрезке [,] (например, строго монотонно возрастает), то на [a,b] , a=x(), b=x() определена функция f(x)=y(t(x)), где t(x) – обратная к x(t) функция. График этой функции совпадает с графиком

Замечание 2. Если выполнены замечания 1 и y(t₀),x(t₀)0, то f(x₀)=.Действительно, .

Замечание. Аналогичное утверждение справедливо, если x(t) строго монотонно убывает.