- •1. Последовательности. Определение,
- •2.Предел последовательности. Сходимость.
- •3.Свойства сходящихся последовательностей.
- •4. Признаки сходимости последовательностей.
- •5.Определение функции. Способы задания функции.
- •6.Классификация основных элементарных функций.
- •7. Предел функции. Теоремы о пределах.
- •8. Односторонние пределы. Несобственные пределы.
- •9. Непрерывность функции в точке.
- •10. Непрерывность функции в интервале. Действия с непрерывными функциями.
- •11.Разрывы функций. Классификация разрывов.
- •12.Производная функции. Геометрическийс мысл производной.
- •13.Теоремы о производной суммы, произведения и частного.
- •14. Производная сложной и обратной функции.
- •15. Дифференциал, связь дифференциала и приращения функции.
- •16.Производные и дифференциалы высших порядков.
- •17.Производные основных элементарных функций.
- •18. Теорема Роля. Теорема Лагранжа.
- •19. Теорема Коши. Формула Тейлора и Маклорена.
- •20. Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя.
- •21.Экстремум функции, точки перегиба, асимптоты.
- •22. Правила исследования функций.
- •23. Определение функции нескольких переменных. Линии уровня.
- •24. Предел функции нескольких переменных.
- •25. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и в области.
- •26. Дифференцирование функций нескольких переменных.
- •27. Частные производные высших порядков. Теорема об изменении порядка дифференцирования.
- •28.Сложная функция двух переменных ее производная.
- •29. Дифференциал функции двух переменных первого и высших порядков.
7. Предел функции. Теоремы о пределах.
Определение. Число называется пределом функции при , стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ; ), что для всех таких, что , верно неравенство: .
Определение. Число называется пределом функции при , стремящемся к (или в точке ), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ; ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство: .
Теоремы о пределах:
Функция не может иметь более одного предела.
Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е. .
Предел произведений конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е. .
Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е. .
Если , , то предел сложной функции .
Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших ) , то .
Пример. Вычислить .
.
8. Односторонние пределы. Несобственные пределы.
Если значение функции стремится к числу по мере стремления к со стороны меньших значений, то число называют левосторонним пределом функции в точке и пишут .
Если значение функции стремится к числу по мере стремления к со стороны больших значений, то число называют правосторонним пределом функции в точке и пишут .
Пример. Вычислить .
Пусть . Тогда при имеем: - отрицательная бесконечно малая функция, следовательно, и , отсюда .
Пусть . Тогда при имеем: - положительная бесконечно малая функция, следовательно, и , отсюда .
9. Непрерывность функции в точке.
Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точке (т.е. существует ); 2) имеет конечный предел функции при ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .
Свойства функций, непрерывных в точке:
1. Если функция и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке .
2. Если функция непрерывны в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой .
3. Если функция непрерывны в точке , а функция непрерывны в точке , то сложная функция непрерывна в точке .
Пример. Функция задана кусочно аналитически, различными аналитическими выражениями для различных подобластей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют.
Так как , и , , т.е. , то в точке функция не является непрерывной.
Так как , и , , т.е. , то в точке функция непрерывна.
10. Непрерывность функции в интервале. Действия с непрерывными функциями.
Определение. Функция называется непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Свойства функций, непрерывных на отрезке:
1. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограниченна на этом отрезке.
2. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения и наибольшего значения .
3. Если функция непрерывна на отрезке и значение ее на концах отрезка и имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка такая, что .
Пример. Доказать непрерывность функции .
Найдем . Так как , а , т.е. , то функция является непрерывной на всей числовой оси.