- •1. Последовательности. Определение,
- •2.Предел последовательности. Сходимость.
- •3.Свойства сходящихся последовательностей.
- •4. Признаки сходимости последовательностей.
- •5.Определение функции. Способы задания функции.
- •6.Классификация основных элементарных функций.
- •7. Предел функции. Теоремы о пределах.
- •8. Односторонние пределы. Несобственные пределы.
- •9. Непрерывность функции в точке.
- •10. Непрерывность функции в интервале. Действия с непрерывными функциями.
- •11.Разрывы функций. Классификация разрывов.
- •12.Производная функции. Геометрическийс мысл производной.
- •13.Теоремы о производной суммы, произведения и частного.
- •14. Производная сложной и обратной функции.
- •15. Дифференциал, связь дифференциала и приращения функции.
- •16.Производные и дифференциалы высших порядков.
- •17.Производные основных элементарных функций.
- •18. Теорема Роля. Теорема Лагранжа.
- •19. Теорема Коши. Формула Тейлора и Маклорена.
- •20. Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя.
- •21.Экстремум функции, точки перегиба, асимптоты.
- •22. Правила исследования функций.
- •23. Определение функции нескольких переменных. Линии уровня.
- •24. Предел функции нескольких переменных.
- •25. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и в области.
- •26. Дифференцирование функций нескольких переменных.
- •27. Частные производные высших порядков. Теорема об изменении порядка дифференцирования.
- •28.Сложная функция двух переменных ее производная.
- •29. Дифференциал функции двух переменных первого и высших порядков.
11.Разрывы функций. Классификация разрывов.
Определение. Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция определена в некоторой окрестности точки , но в самой точке не
удовлетворяет условию непрерывности.
Точки разрыва функции делятся на два типа:
1. к точкам разрыва I рода относятся такие точки, в которых существуют конечные односторонние пределы , .
2. к точкам разрыва II рода относятся те точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.
Точки разрыва I рода подразделяются в свою очередь на точки устранимого разрыва (когда ) и точки скачка функции (когда ).
Пример. а) найти точки разрыва функции , если они существуют; б) найти односторонние пределы в точках разрыва и установить тип точек разрыва; в) сделать схематический чертеж графика функции в окрестности точек разрыва.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим условиям:
1) функция определена в точке ;
2) имеет конечный предел при ;
3. этот предел равен значению функции в этой точке .
Функция не определена в точке и, следовательно, в этой точке функция терпит разрыв, т.е. не выполняется первое условие непрерывности.
Найдем односторонний предел с права, так как , то в точке функция имеет разрыв второго рода (если хотя бы один из односторонних пределов или бесконечен, то - точка разрыва второго рода).
12.Производная функции. Геометрическийс мысл производной.
Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует): .
Пусть на плоскости дана непрерывная кривая и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке рис 1.
Прежде всего, необходимо выяснить, что будет пониматься под касательной к кривой. Касательную нельзя определить как прямую, имеющую с кривой одну общую точку. В самом деле, прямая (1) на рис. 2 имеет одну общую точку с кривой (2), но не является касательной к ней. А прямая (3) на рис. 2 хотя имеет две общие точки с кривой (4), очевидно, касается ее в точке . Поэтому для определения касательной к кривой должен быть реализован другой подход.
Дадим аргументу приращение и перейдем на кривой от точки к точке . Проведем секущую рис. 1.
Под касательной к кривой в точке естественно понимать предельное положение секущей при приближении точки к точке , т.е. при .
Уравнение прямой, проходящей через точку имеет вид .
У гловой коэффициент (или тангенс угла наклона) секущей может быть найден из . Итак, угловой коэффициент касательной к данной кривой в точке равен пределу углового коэффициента секущей , когда , т.е. .