- •1. Последовательности. Определение,
- •2.Предел последовательности. Сходимость.
- •3.Свойства сходящихся последовательностей.
- •4. Признаки сходимости последовательностей.
- •5.Определение функции. Способы задания функции.
- •6.Классификация основных элементарных функций.
- •7. Предел функции. Теоремы о пределах.
- •8. Односторонние пределы. Несобственные пределы.
- •9. Непрерывность функции в точке.
- •10. Непрерывность функции в интервале. Действия с непрерывными функциями.
- •11.Разрывы функций. Классификация разрывов.
- •12.Производная функции. Геометрическийс мысл производной.
- •13.Теоремы о производной суммы, произведения и частного.
- •14. Производная сложной и обратной функции.
- •15. Дифференциал, связь дифференциала и приращения функции.
- •16.Производные и дифференциалы высших порядков.
- •17.Производные основных элементарных функций.
- •18. Теорема Роля. Теорема Лагранжа.
- •19. Теорема Коши. Формула Тейлора и Маклорена.
- •20. Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя.
- •21.Экстремум функции, точки перегиба, асимптоты.
- •22. Правила исследования функций.
- •23. Определение функции нескольких переменных. Линии уровня.
- •24. Предел функции нескольких переменных.
- •25. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и в области.
- •26. Дифференцирование функций нескольких переменных.
- •27. Частные производные высших порядков. Теорема об изменении порядка дифференцирования.
- •28.Сложная функция двух переменных ее производная.
- •29. Дифференциал функции двух переменных первого и высших порядков.
20. Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя.
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.
Итак, если имеется неопределенность вида или , то .
Доказательство. Рассмотрим доказательство теоремы для неопределенности вида при .
Для простоты будем предполагать, что функции и , а также их производные непрерывны в точке , причем и . В этом случае .
Применяя теорему Лагранжа для функций и на отрезке , получим , где , .
При в силу непрерывности производных и имеем и . Используя теорему о пределе частного получаем равенство .
Пример. Раскрыть неопределенность по правилу Лопиталя и найти предел функции: .
.
21.Экстремум функции, точки перегиба, асимптоты.
Определение. Точка называется точкой максимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .
Определение. Точка называется точкой минимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .
Теорема. Для того чтобы функция имела экстремум в точке , необходимо и достаточно, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.
Теорема. Если при переходе через точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка есть точка максимума функции , а если с минуса на плюс, - то точка минимума.
Теорема. Если первая производная дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке , а вторая производная в этой точке положительна, то есть точка минимума функции ; если отрицательна, то - точка максимума.
Определение. Функция называется выпуклой вниз на промежутке Х, если для любых двух значений , из этого промежутка выполняется неравенство .
Определение. Функция называется выпуклой вверх на промежутке Х, если для любых двух значений , из этого промежутка выполняется неравенство .
Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервал, в которых функция выпукла вниз и вверх.
Теорема. Вторая производная дважды дифференцируемой в точке перегиба равна нулю, т.е. .
Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то есть точка перегиба ее графика.
Прямая линия называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки , лежащей на графике, до этой прямой стремится к нулю при движении точки по графику в бесконечность.
Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .
Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции при , если .
Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при , если функцию можно представить в виде , где при .
Теорема. Для того чтобы функция имела при наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела и .
Пример. Найти асимптоты функции .
Вертикальная асимптота пересекает ось абсцисс в точке , , т.к. , , , .
Так как , то горизонтальных асимптот функция не имеет. Найдем наклонные асимптоты: ,
. Прямая - наклонная асимптота.