- •1. Последовательности. Определение,
- •2.Предел последовательности. Сходимость.
- •3.Свойства сходящихся последовательностей.
- •4. Признаки сходимости последовательностей.
- •5.Определение функции. Способы задания функции.
- •6.Классификация основных элементарных функций.
- •7. Предел функции. Теоремы о пределах.
- •8. Односторонние пределы. Несобственные пределы.
- •9. Непрерывность функции в точке.
- •10. Непрерывность функции в интервале. Действия с непрерывными функциями.
- •11.Разрывы функций. Классификация разрывов.
- •12.Производная функции. Геометрическийс мысл производной.
- •13.Теоремы о производной суммы, произведения и частного.
- •14. Производная сложной и обратной функции.
- •15. Дифференциал, связь дифференциала и приращения функции.
- •16.Производные и дифференциалы высших порядков.
- •17.Производные основных элементарных функций.
- •18. Теорема Роля. Теорема Лагранжа.
- •19. Теорема Коши. Формула Тейлора и Маклорена.
- •20. Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя.
- •21.Экстремум функции, точки перегиба, асимптоты.
- •22. Правила исследования функций.
- •23. Определение функции нескольких переменных. Линии уровня.
- •24. Предел функции нескольких переменных.
- •25. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и в области.
- •26. Дифференцирование функций нескольких переменных.
- •27. Частные производные высших порядков. Теорема об изменении порядка дифференцирования.
- •28.Сложная функция двух переменных ее производная.
- •29. Дифференциал функции двух переменных первого и высших порядков.
25. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и в области.
Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она: 1) определена в точке ; 2) имеет конечный предел при и ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .
Определение. Функция называется непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Пример. Исследовать на непрерывность функцию .
Функция как отношение двух многочленов (которые представляют собой функции, непрерывные на всей плоскости) является непрерывной на всей плоскости, за исключением точки . В этой точке числитель равен единице, а знаменатель обращается в нуль и, следовательно, функция не определена.
26. Дифференцирование функций нескольких переменных.
Определение. Частной производной функции нескольких переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).
Пример. Найти частные производные , функции ; .
Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение может быть представлено в виде .
Теорема. Если частные производные функции существуют в окрестности точки и непрерывны в самой точке , то функция дифференцируема в этой точке.
27. Частные производные высших порядков. Теорема об изменении порядка дифференцирования.
Определение. Частными производными второго порядка функции называются частные производные от частных производных первого порядка:
, ,
, .
Пример. Найти частные производные второго порядка функции ; , , , , , .
28.Сложная функция двух переменных ее производная.
Если дифференцируемая функция аргументов и , а и дифференцируемые функции аргумента : , , то полная производная сложной функции находится по формуле .Если дифференцируемая функция аргументов и , а и дифференцируемые функции аргумента и : , , то частные производные сложной функции находится по формулам , .Пример. Дано , где , . Найти .
Так как , , , , тогда по формуле находим .
29. Дифференциал функции двух переменных первого и высших порядков.
Определение. Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е. .
Пример. Найти полный дифференциал функции .
Так как , , то .
Пример. Найти в точке полный дифференциал функции заданной неявно.
, , , , , .
Пример. Найти дифференциал функции указанного порядка: .
1. , .
2. , , .
3. , , , .
Так как , то .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|