273. Найти сумму ряда

∆ Представим общий член ряда и_п в виде суммы простейших дробей:

Умножая обе части этого выражения на знаменатель, придем к тождеству

Полагая последовательно n = 0, —1, —2, находим: при n=0: 1=2A; A = 1/2; при n = -1: 1 = -В; В = -1; при n = —2: 1=2С, С=1/2. Таким образом,

т.е.

Отсюда

Итак, следовательно, ряд сходится и имеет сумму 1/4. ▲

274. Исследовать сходимость ряда

∆ Данный ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометри­ческой прогрессии и поэтому сходится. Найдем его сумму. Здесь а = 2/3, q= 1/2 (знаменатель прогрессии). Следовательно,

▲

274. Исследовать сходимость ряда

∆Данный ряд получен из гармонического отбрасыванием первых десяти членов. Следовательно, он расходится. ▲

276. Исследовать сходимость ряда

∆ Так как

т. е. то ряд расходится (не выполняется необходимый признак сходимости). ▲

277. Исследовать сходимость ряда

0,6 + 0,51 +0,501 + ... +[0,5+ (0,1)ⁿ]+ ....

∆ Здесь и ряд расходится. ▲

278. Исследовать сходимость ряда

∆Члены данного ряда меньше соответствующих членов ряда

т. е. ряда Но последний ряд сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Следовательно, сходится и данный ряд. ▲

279. Исследовать сходимость ряда

если р<1.

∆ Члены этого ряда, начиная со второго, больше соответствующих чле­нов гармонического ряда. Следовательно, ряд расходится.▲

280. Исследовать сходимость ряда с общим членом

∆ Сравним этот ряд с рядом, у которого общий член (т. е. с бесконечно убывающей геометрической прогрессией). Применим второй признак сравнения рядов:

Так как предел конечен и отличен от нуля и ряд сходится, то сходится и данный ряд. ▲

281. Исследовать сходимость ряда

∆ Сравним ряд с гармоническим рядом, у которого

Следовательно, данный ряд расходится. ▲

282. Исследовать сходимость ряда

∆ Здесь удобно применить признак Коши, поскольку а предел последней дроби находится просто:

Так как С = 1/2 < 1, то ряд сходится. ▲

283. Исследовать сходимость ряда

∆ Снова применим признак Коши:

Так как С > 1, то ряд расходится. ▲

284. Исследовать сходимость ряда

∆ Применим признак Даламбера; имеем значит,

Так как D > 1, то ряд расходится. ▲

285. Исследовать сходимость ряда

∆ Здесь поэтому

D<1.

Следовательно, ряд сходится. ▲

286. Исследовать сходимость ряда

∆ Имеем D<1.

—ряд сходится. ▲

286. Исследовать сходимость рядa

∆ Имеем Так как D = 1, то с помощью признака Даламбера не удается решить вопроса о сходимости ряда.

Применим интегральный признак: следовательно, f(х) = 1/х³,

Интеграл сходится (является конечной величиной), поэтому сходится и данный ряд.▲

288. Исследовать сходимость ряда

∆ Применим интегральный признак:

Интеграл расходится, поэтому расходится и данный ряд. ▲

289. Исследовать сходимость ряда

∆ Применим признак Лейбница. Так как

…..

то

Следовательно, выполнено первое условие признака Лейбница. Далее, так как

то выполнено и второе условие. Значит, данный ряд сходится. ▲

290. Исследовать сходимость ряда

∆ Первое условие признака Лейбница выполняется: 1,1 > 1,01 > 1,001 > >...; с другой стороны, Так как то не выполнен необходимый признак сходимости ряда. Ряд расходится. ▲

291. Исследовать сходимость ряда

.

∆ Общий член ряда не стремится к нулю, поэтому ряд расходится. ▲

292. Исследовать сходимость ряда

∆ Составим ряд из абсолютных величин:

Этот ряд есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и, следова­тельно, сходится. Значит, и данный ряд сходится, причем абсолютно. ▲

292. Найти произведение абсолютно сходящихся рядов

и

∆ Произведение рядов (согласно данному на с. 68 определению) есть ряд

или

Так как то ряд можно переписать в виде

или

▲

294. Написать первые четыре члена ряда

295. Написать первые четыре члена ряда

Найти суммы рядов:

296.

297. 

298. 

299. 

300. Показать, что ряд расходится.

Исследовать сходимость рядов с помощью первого признака сравнения:

301.

302.

Исследовать сходимость рядов с помощью второго признака сравнения:

303.

● Сравнить с рядом

304.

Пользуясь признаком Коши, исследовать сходимость рядов:

305.

306. 3 + (2,1)² + (2,01)³+...+[2 + (0_,1)^n-1]+...

Пользуясь признаком Даламбера, исследовать сходимость рядов:

307.

308.

Пользуясь интегральным признаком, исследовать сходимость рядов:

309. если р>1.

310. 

Исследовать сходимость знакопеременных рядов и установить характер сходимости (абсолютная, условная):

311.

312.

313. 

314. 

315. 

Исследовать сходимость рядов:

316.

317.

318.

319.

320. 

321. 

322. 

323. 

324. 

325. 

326. 

327. 

328. 

329. 

330. 

331. 

332. 

333. 

334. 

335.

336. Найти произведение абсолютно сходящихся рядов и

337. Показать, что ряд абсолютно сходится, и возвести его в квадрат (умножить на себя).