3. Степенные ряды

Функциональный ряд вида

a₀+a₁(x-a)+a₂(x-a)²+…+a_n(x-a)ⁿ

где a₀ , a₁,… a_n - действительные числа, называется степенным.

Основное свойство степенных рядов состоит в том, что если степенной ряд сходится при х=х₀, то он сходится (и притом абсолютно) при всяком значе­нии х, удовлетворяющем неравенству|х—а| < |х₀—а| (теорема Абеля).

Одним из следствий теоремы Абеля является факт существования для всякого степенного ряда интервала сходимости |х—а| < R, или а—R < х < a+R с центром в точке а, внутри которого степенной ряд абсолютно схо­дится и вне которого он расходится. На концах интервала сходимости (в точ­ках x= а ± R) различные степенные ряды ведут себя по-разному: одни схо­дятся абсолютно на обоих концах, другие—либо условно сходятся на обоих концах, либо на одном из них условно сходятся, на другом расходятся, третьи— расходятся на обоих концах.

Число R—половина длины интервала сходимости—называется радиусом сходимости степенного ряда. В частных случаях радиус сходимости ряда R может быть равен нулю или бесконечности. Если R = 0, то степенной ряд сходится лишь при х=а; если же R = ∞, то ряд сходится на всей числовой оси.

Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно пользоваться одним из следующих способов.

1. Если среди коэффициентов ряда a₁,a₂…a_nнет равных нулю, т. е. ряд содержит все целые положительные степени разности х—а, то

(1)

при условии, что этот предел (конечный или бесконечный) существует.

2. Если исходный ряд имеет вид

.... (где р—некоторое определенное целое положительное число: 2, 3, ...), то

(2)

2. Если среди коэффициентов ряда есть равные нулю и последовательность оставшихся в ряде показателей степеней разности х—а любая (т. е. не обра­ зует арифметическую прогрессию, как в предыдущем случае), то радиус схо­ димости можно находить по формуле

(3)

в которой используются только значения a_n отличные от нуля. (Эта формула пригодна и в случаях 1 и 2.)

4. Во всех случаях интервал сходимости можно находить, применяя не­ посредственно признак Даламбера или признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.

Записав ряд в виде

(здесь и₀ = а₀, и_п(х)=а_п(х—а)^N, где зависимость N от п может быть любой, причем через а_п обозначен не коэффициент при (х—а)", а коэффициент n-го члена ряда), находят интервал сходимости из неравенств

Отметим следующее свойство степенных рядов: ряды, полученные почлен­ным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот оке интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна соот­ветственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда.

Таким образом, если , то

,

где —R < х—а < R.

Операцию почленного дифференцирования и интегрирования можно про­изводить над степенным рядом сколько угодно раз. Следовательно, сумма степенного ряда внутри его интервала сходимости является бесконечно диф­ференцируемой функцией.

357. Исследовать сходимость степенного ряда

∆ Здесь а_п=1/п, а_п+1= 1/(n+ 1). Найдем радиус сходимости ряда:

Следовательно, ряд сходится для значений х, удовлетворяющих неравен­ству —1 < х < 1.

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если х=1, то полу­чаем гармонический ряд который, как известно, расходится. Если х=-1, то получаем ряд Этот ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница.

Итак, область сходимости степенного ряда определяется двойным неравен­ством -1≤x<1.▲

358. Исследовать сходимость ряда

∆ Здесь a_n =1/n² , a_n+1 =1/(n+1)², имеем

Следовательно, ряд сходится, если —1 < x — 2 < 1, т. е. 1 < х < 3.

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если х = 3, то полу­чаем ряд который сходится, так как ряд сходится при р > 1 (на основании интегрального признака).

Если х=1, то получаем ряд Этот ряд сходится (и притом абсолютно), так как сходится ряд из абсолютных величин его членов. Итак, степенной ряд сходится для значений х, удовлетворяющих двой­ному неравенству 1 ≤ х ≤ 3. ▲

359. Исследовать сходимость ряда

∆ Здесь а_n=n!, а_n+1=(n+1)!; значит,

Ряд сходится только при x—5 = 0, т. е. в точке х=5. ▲

360. Исследовать сходимость ряда

∆ Имеем а_n=n!, а_n+1=(n+1)!, а_n = 0;

Следовательно, ряд сходится при любом значении х. Отсюда, между прочим, заключаем, что предел общего члена ряда при любом значении х равен нулю,

т. е. .▲

361. Исследовать сходимость ряда

Д Ряд является геометрической прогрессией со знаменателем q=x³/10. Он сходится, если |x³/10| < 1, и расходится, если |x³/10|≥1- Следовательно, промежуток сходимости ряда определяется двойным неравенством . Тот же результат можно получить, используя формулы (2) и (3). ▲

362. Исследовать сходимость ряда

Δ Полагая х⁵ = t, получаем ряд

(*)

Здесь а_п = 2ⁿ/(2n—1), а_n+1=2ⁿ⁺¹/(2n+1). Находим радиус сходимости ряда (*):

Таким образом, ряд сходится, если |t| < 1/2.

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если t=1/2, то по­ лучаем ряд . Этот ряд расходится (его можно сравнить

с рядом членами которого являются члены гармониче­ского ряда, умноженные на 1/2). При t = —1/2 получаем ряд Этот ряд сходится условно. Следовательно, ряд (*) сходится,

если —1,2≤t< 1/2. Таким образом, заданный ряд сходится, если —1/2≤ x⁵ < 1/2, т. е. — <х< . Тот же результат можно получить, используя формулу (2). ▲

363. Исследовать сходимость ряда

∆В данном случае имеем а_n = 0 при п=2k — 1 и при п = 2k. Для отыскания радиуса сходимости удобнее всего использовать фор­мулу (3). Находим

.

Исследуем ряд на концах интервала сходимости. Полагая х—2= , получаем числовой ряд

Но Таким образом, при х— 2= ряд расходится. То же самое имеет место и при х—2 = — . Итак, область сходи­мости данного ряда 2— < х < 2+ . ▲

364. Исследовать сходимость ряда

∆ Применяем признак Коши, полагая . Тогда

.

Таким образом, ряд сходится, если |x— 1 |< 1, т. е. в промежутке 0≤x≤ 2. ▲

365. Исследовать сходимость ряда

∆ Применяем признак Даламбера, полагая , Тогда

Итак, ряд сходится, если |x|<1, т. е. на отрезке -1≤x≤1

366. Найти сумму ряда 1 + 2х + Зх²+ ... + пх^n-1+... (|x| < 1), продифференцировав почленно ряд 1 +х + х²+х³+ .. .+x^n-1 + … (|x|<1).

∆ Воспользовавшись формулой суммы членов бесконечно убывающей гео­метрической прогрессии , получаем

.

Остается продифференцировать полученное равенство: ▲

367. Найти сумму ряда

∆ Продифференцируем почленно заданный ряд и найдем его сумму по формуле , где а=1 и q=х; получим

.

Проинтегрировав затем в пределах от 0 до х, находим

Этот ряд сходится в промежутке [—1,1].▲

Исследовать сходимость степенных рядов:

368.

369.

370.

371.

372.

373. ●Положить х² =t.

374.

375.

376.

377.

Найти суммы рядов:

378. если |x|<a.

379. ,если-a≤x<а.

380. если |x|<a.

381. если |x|<1.